Одно уравнение с одним неизвестным

Рассмотрим одно алгебраическое уравнение с одним неизвестным х.

f(x)=0, (1)

например,

sin(x)=0.

Для решения таких уравнений Mathcad имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному.

  • root(f(х),х);
  • root(f(х),х,а,b);
    • f (х) — скалярная функция, определяющая уравнение (1);
    • х — скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;
    • а,ь — границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.

Приведем пример решения очень простого уравнения sin(x)=o, корни которого известны заранее.

Листинг 8.1. Поиск корня нелинейного алгебраического уравнения

Рис. 8.1. Графическое решение уравнения sin(x)=0

График функции f (x)=sin(x) и положение найденного корня показаны на рис. 8.1. Обратите внимание, что, хотя уравнение имеет бесконечное количество корней xn=npi (n=0,±1,±2,...), Mathcad находит (с заданной точностью) только один из них, х0, лежащий наиболее близко к х=0.5. Если задать другое начальное значение, например х=3, то решением будет другой корень уравнения х1=pi и т. д. Таким образом, для поиска корня средствами Mathcad требуется его предварительная локализация. Это связано с особенностями выбранного численного метода, который называется методом секущих и состоит в следующем (рис. 8.2):

  • Начальное приближение принимается за 0-е приближение к корню: х0=х.
  • Выбирается шаг h=TOLх и определяется первое приближение к корню x1=x0+h. Если х=0, то принимается h=TOL.
  • Через эти две точки проводится секущая — прямая линия, которая пересекает ось х в некоторой точке х2. Эта точка принимается за второе приближение.
  • Новая секущая проводится через первую и вторую точки, тем самым определяя третье приближение, и т. д.
  • Если на каком-либо шаге оказывается, что уравнение выполнено, т. е. |If (x) |<TOL, то итерационный процесс прерывается, и х выдается в качестве решения.

Рис. 8.2. Иллюстрация метода секущих

Результат, показанный на рис. 8.2, получен для погрешности вычислений, которой в целях иллюстративности предварительно присвоено значение TOL=0.5. Поэтому для поиска корня с такой невысокой точностью оказалось достаточно одной итерации. В вычислениях, приведенных в листинге 8.1, погрешность TOL=0.001 была установлена по умолчанию, и решение, выданное численным методом, лежало намного ближе к истинному положению корня х=0. Иными словами, чем меньше константа TOL, тем ближе к нулю будет значение f (x) в найденном корне, но тем больше времени будет затрачено вычислительным процессором Mathcad на его поиск.

Соответствующий пример можно найти в Быстрых шпаргалках, на странице Ресурсов Mathcad. Он расположен в разделе "Solving Equations" (Решение уравнений) и называется "Effects of TOL on Solving Equations" (Влияние константы TOL на решение уравнений).

Если уравнение неразрешимо, то при попытке найти его корень будет выдано сообщение об ошибке. Кроме того, к ошибке или выдаче неправильного корня может привести и попытка применить метод секущих в области локального максимума или минимума f (х). В этом случае секущая может иметь направление, близкое к горизонтальному, выводя точку следующего приближения далеко от предполагаемого положения корня. Для решения таких уравнений лучше применять другую встроенную функцию Minerr (см. разд. 8.5). Аналогичные проблемы могут возникнуть, если начальное приближение выбрано слишком далеко от настоящего решения или f (х) имеет особенности типа бесконечности.

Для решения уравнения с одним неизвестным применимы и градиентные методы, относящиеся в Mathcad к системам уравнений. Информация об этом приведена в разд. 8.3.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [а,b], внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение х не нужно, как показано в листинге 8.2. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и ь альтернативным численным методом (Риддера или Брента).

Листинг 8.2. Поиск корни алгебраического уравнения заданном интервале

 

Обратите внимание, что явный вид функции f (х) может быть определен непосредственно в теле функции root.

Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

  • внутри интервала [а,b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно;
  • значения f (а) и f (b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые, то их также можно найти. В листинге 8.3 приведен пример, в котором уравнение x2+i=0, имеющее два чисто мнимых корня, решается два раза с разными начальными значениями. При задании начального значения 0.5 (первая строка листинга) численный метод отыскивает первый корень (отрицательную мнимую единицу -i), а при начальном значении -0.5 (третья строка листинга) находится и второй корень (i).

Листинг 8.3. Поиск мнимого корня

Для решения этого уравнения второй вид функции root (с четырьмя, а не с двумя аргументами) неприменим, поскольку f (х) является положительноопределенной, и указать интервал, на границах которого она имела бы разный знак, невозможно.

Остается добавить, что f (х) может быть функцией не только х, а любого количества аргументов. Именно поэтому в самой функции root необходимо определить, относительно какого из аргументов следует решить уравнение. Эта возможность проиллюстрирована листингом 8.4 на примере функции двух переменных f (х,у)=х2-y2+3. В нем сначала решается уравнение f(x,0)=0 относительно переменной х, а потом - другое уравнение f (1,у) =0 относительно переменной у.

Листинг 8.4. Поиск корня уравнения, заданного функцией двух переменных

В первой строке листинга определяется функция f (x,y), во второй и третьей — значения, для которых будет производиться решение уравнения по у и х, соответственно. В четвертой строке решено уравнение f (x,0)=0, а в последней —уравнение f (1,y)=0. Не забывайте при численном решении уравнений относительно одной из переменных предварительно определить значения остальных переменных. Иначе попытка вычислить уравнения приведет к появлению ошибки "This variable or function is not defined above", в данном случае говорящей о том, что другая переменная ранее не определена. Конечно, можно указать значение других переменных непосредственно внутри функции root, беспрепятственно удалив, например, вторую и третью строки листинга 8.4 и введя его последние строки в виде root(f (x,0) ,х)= и root(f (1,у) ,у)=, соответственно.

Для того чтобы отыскать зависимость корней уравнения, вычисленных по одной переменной, от других переменных, разработаны специальные эффективные алгоритмы. Об одной из возможностей читайте в разд. 8.8.

  

Знаете ли Вы, что, когда некоторые исследователи, пытающиеся примирить релятивизм и эфирную физику, говорят, например, о том, что космос состоит на 70% из "физического вакуума", а на 30% - из вещества и поля, то они впадают в фундаментальное логическое противоречие. Это противоречие заключается в следующем.

Вещество и поле не есть что-то отдельное от эфира, также как и человеческое тело не есть что-то отдельное от атомов и молекул его составляющих. Оно и есть эти атомы и молекулы, собранные в определенном порядке. Также и вещество не есть что-то отдельное от элементарных частиц, а оно состоит из них как базовой материи. Также и элементарные частицы состоят из частиц эфира как базовой материи нижнего уровня. Таким образом, всё, что есть во вселенной - это есть эфир. Эфира 100%. Из него состоят элементарные частицы, а из них всё остальное. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

{DATA}
НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution