Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Быстрое преобразование Фурье

Теоремы быстрого преобразования Фурье (FFT)

Теорема 0

Если комплексное число представлено в виде e j2πN, где N - целое, то это число e j2πN = 1.

Доказательство:

По формуле Эйлера, и ввиду периодичности синуса и косинуса:

e j2πN = cos(2πN) + j sin(2πN) = cos 0 + j sin 0 = 1 + j0 = 1

Теорема 1

Величина периодична по k и по n с периодом N. То есть, для любых целых l и m выполняется равенство:

    (4).

Доказательство:

    (5)

Величина -h = -(nl+mk+mlN) - целая, так как все множители целые, и все слагаемые целые. Значит, мы можем применить Теорему 0:

Что и требовалось доказать по (4).

Теорема 2

Для величины справедлива формула:

Доказательство:

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.

  1. Необходимо разделить сумму (1) из N слагаемых на две суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.
  2. Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.

Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2. Рассмотрим случай прореживания по времени.

Теорема 3

Определим еще две последовательности: {x[even]} и {x[odd]} через последовательность {x} следующим образом:

x[even]n = x2n,
x[odd]n = x2n+1,     (6)
n = 0, 1,..., N/2-1

Пусть к этим последовательностям применены ДПФ и получены результаты в виде двух новых последовательностей {X[even]} и {X[odd]} по N/2 элементов в каждой.

Утверждается, что элементы последовательности {X} можно выразить через элементы последовательностей {X[even]} и {X[odd]} по формуле:

    (7).

Доказательство:

Начинаем от формулы (2), в которую подставляем равенства из (6):

    (8)

Теперь обратим внимание на то, что:

    (9)

Подставляя (9) в (8) получаем:

    (10)

Сравним с формулами для X[even]k и X[odd]k при k = 0,1,…,N/2-1:

    (11)

Подставляя (11) в (10) получим первую часть формулы (7):

Это будет верно при k = 0,1,…,N/2-1.

Согласно теореме 1:

    (12)

Подставим (12) в (10), и заменим по теореме 2:

    (13)

Для k = N/2,…,N-1 по формуле (2):

    (14)

Подставляем (14) в (13):

Эта формула верна для k = N/2,…,N-1 и, соответственно, (k - N/2) = 0,1,…,N/2-1 и представляет собой вторую и последнюю часть утверждения (7), которое надо было доказать.

 

Формула (7) позволяет сократить число умножений вдвое (не считая умножений при вычислении X[even]k и X [odd]k), если вычислять Xk не последовательно от 0 до N - 1, а попарно: X0 и XN/2, X1 и XN/2+1,..., XN/2-1 и XN. Пары образуются по принципу: Xk и XN/2+k.

Теорема 4

ДПФ можно вычислить также по формуле:

    (15)

Доказательство:

Согласно второй части формулы (7), получим:

 

Это доказывает второе равенство в утверждении теоремы, а первое уже доказано в теореме 3.

 

Также по этой теореме видно, что отпадает необходимость хранить вычисленные X[even]k и X[odd]k после использования при вычислении очередной пары и одно вычисление можно использовать для вычисления двух элементов последовательности {X}.

На этом шаге будет выполнено N/2 умножений комплексных чисел. Если мы применим ту же схему для вычисления последовательностей {X[even]} и {X[odd]}, то каждая из них потребует N/4 умножений, итого еще N/2. Продолжая далее в том же духе log2N раз, дойдем до сумм, состоящих всего из одного слагаемого, так что общее количество умножений окажется равно (N/2)log2N, что явно лучше, чем N2 умножений по формуле (2).

Рассмотрим БПФ для разных N. Для ясности добавим еще один нижний индекс, который будет указывать общее количество элементов последовательности, к которой этот элемент принадлежит. То есть X{R}k - это k-й элемент последовательности {X{R}} из R элементов. X{R}[even]k - это k-й элемент последовательности {X{R}[even]} из R элементов, вычисленный по четным элементам последовательности {X{2R}}. X{R}[odd]k - это k-й элемент последовательности {X{R}[odd]}, вычисленный по нечетным элементам последовательности {X{2R}}.

В вырожденном случае, когда слагаемое всего одно (N = 1) формула (1) упрощается до:

,

Поскольку в данном случае k может быть равно только 0, то X{1}0 = x{1}0, то есть, ДПФ над одним числом дает это же самое число.

Для N = 2 по теореме 4 получим:

Для N = 4 по теореме 4 получим:

Отсюда видно, что если элементы исходной последовательности были действительными, то при увеличении N элементы ДПФ становятся комплексными.

Для N = 8 по теореме 4 получим:

Обратите внимание, что на предыдущем шаге мы использовали степени W4, а на этом - степени W8. Лишних вычислений можно было бы избежать, если учесть тот факт, что

Тогда формулы для N=4 будут использовать те же W-множители, что и формулы для N=8:

Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Знаете ли Вы, что cогласно релятивистской мифологии "гравитационное линзирование - это физическое явление, связанное с отклонением лучей света в поле тяжести. Гравитационные линзы обясняют образование кратных изображений одного и того же астрономического объекта (квазаров, галактик), когда на луч зрения от источника к наблюдателю попадает другая галактика или скопление галактик (собственно линза). В некоторых изображениях происходит усиление яркости оригинального источника." (Релятивисты приводят примеры искажения изображений галактик в качестве подтверждения ОТО - воздействия гравитации на свет)
При этом они забывают, что поле действия эффекта ОТО - это малые углы вблизи поверхности звезд, где на самом деле этот эффект не наблюдается (затменные двойные). Разница в шкалах явлений реального искажения изображений галактик и мифического отклонения вблизи звезд - 1011 раз. Приведу аналогию. Можно говорить о воздействии поверхностного натяжения на форму капель, но нельзя серьезно говорить о силе поверхностного натяжения, как о причине океанских приливов.
Эфирная физика находит ответ на наблюдаемое явление искажения изображений галактик. Это результат нагрева эфира вблизи галактик, изменения его плотности и, следовательно, изменения скорости света на галактических расстояниях вследствие преломления света в эфире различной плотности. Подтверждением термической природы искажения изображений галактик является прямая связь этого искажения с радиоизлучением пространства, то есть эфира в этом месте, смещение спектра CMB (космическое микроволновое излучение) в данном направлении в высокочастотную область. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution