Для чего нужно быстрое преобразование Фурье или вообще дискретное
преобразование Фурье (ДПФ)? Давайте попробуем разобраться.
Пусть у нас есть функция синуса x = sin(t).
Максимальная амплитуда этого колебания равна 1. Если умножить его на
некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый
по вертикали в A раз: x = Asin(t).
Период колебания равен 2π. Если мы хотим увеличить
период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент.
Это вызовет растяжение графика по горизонтали: x = A sin(2πt/T).
Частота колебания обратна периоду:
ν = 1/T.
Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле:
ω= 2πν = 2πT.
Откуда: x = A sin(ωt).
И, наконец, есть фаза, обозначаемая как φ. Она
определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех
этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника:
Очень похоже выглядит и выражение гармоники через косинус:
Большой разницы нет. Достаточно изменить фазу на π/2,
чтобы перейти от синуса к косинусу и обратно. Далее будем подразумевать
под гармоникой функцию косинуса:
x = A cos(2πt/T + φ)
= A cos(2πνt + φ)
= A cos(ωt + φ)
(18)
В природе и технике колебания, описываемые подобной функцией чрезвычайно
распространены. Например, маятник, струна, водные и звуковые волны и
прочее, и прочее.
Преобразуем (18) по формуле косинуса суммы:
x = A cos φ cos(2πt/T)
- A sin φ sin(2πt/T)
(19)
Выделим в (19) элементы, независимые от t, и обозначим их как Re и Im:
x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T) (20)
Re = A cos φ,
Im = A sin φ
По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и
фазу исходной гармоники:
и (21)
Рассмотрим очень распространенную практическую ситуацию.
Пусть у нас есть звуковое или какое-то иное колебание в виде функции
x = f(t). Пусть это колебание было записано в виде графика
для отрезка времени [0, T]. Для обработки компьютером нужно выполнить
дискретизацию. Отрезок делится на N-1 равных частей, границы
частей обозначим tn = nT/N.
Сохраняются N значений функции на границах частей: xn = f(tn) = { x0, x1, x2,..., xN }.
В результате прямого дискретного преобразования Фурье были получены N
значений для Xk:
(22)
Теперь возьмем обратное преобразование Фурье:
(23)
Выполним над этой формулой следующие действия: разложим каждое комплексное
Xk на мнимую и действительную составляющие
Xk = Rek + j Imk;
разложим экспоненту по формуле Эйлера на синус и косинус действительного
аргумента; перемножим; внесем 1/N под знак суммы и
перегруппируем элементы в две суммы:
(24)
Это была цепочка равенств, которая начиналась с действительного числа
xn. В конце получилось две суммы,
одна из которых помножена на мнимую единицу j. Сами же суммы
состоят из действительных слагаемых. Отсюда следует, что вторая сумма
должна быть равна нулю. Отбросим ее и получим:
(25)
Поскольку при дискретизации мы брали tn = nT/N и
, то можем выполнить замену: n = tnN/T. Следовательно,
в синусе и косинусе вместо 2πkn/N
можно написать 2πktn/T. В результате
получим:
(26)
Сопоставим эту формулу с формулой (20) для гармоники:
x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T) (20)
Слагаемые суммы (26) аналогичны формуле (20), а формула (20) описывает
гармоническое колебание. Значит сумма (26) представляет собой сумму из N
гармонических колебаний разной частоты, фазы и амплитуды.
Выше объяснялось, каким образом формула вида (20) может быть преобразована в формулу вида (18):
x = A cos(2πt/T + φ) (18)
Выполним такое же преобразование для слагаемых суммы (26), преобразуем их из
вида (20) в вид (18). Получим:
(27)
Далее будем функцию
Gk(t)
= Ak cos(2πtk/T + φk)
(28)
называть k-й гармоникой.
Для вычисления Ak и φk
надо использовать формулу (21).
Теперь выпишем в одном месте все формулы, которые связывают амплитуду, фазу, частоту
и период каждой из гармоник с коэффициентами Xk:
(29)
Функция Arg(X) - это аргумент комплексного числа. В языке C++ для ее вычиления
удобно использовать функцию atan2(Im, Re).
Итак. Физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы
представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры
каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник - обратным.
Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment? Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки. Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.
Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.
Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").
Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.
Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.
Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
и 
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(29)
