Предположим, что исходный сигнал состоял из суммы гармоник.
fs(t) = As cos(2πtms / T + φs). Пусть мы этот
сигнал подвергли дискретизации, выполнили над ним прямое и обратное
преобразование Фурье. Представили в виде суммы гармоник Gk(t) = Ak cos(2πtk / T + φk), как
это описано в предыдущей главе. Спрашивается, эти гармоники Gk -
те же самые, что и исходные гармоники fs или нет? Оказывается, нет, не те.
Но кое-какую информацию об исходных гармониках все же можно попытаться восстановить.
Эта задача имеет практический интерес. Пусть нам дан некий сигнал, который физически
получился как сумма гармонических колебаний (или близких к ним). Простейший пример:
кто-то сыграл аккорд, аккорд записан как звуковое колебание в виде mp3 или wav-файла; и надо
восстановить, из каких нот аккорд состоял. Или другой случай. Во время испытаний
самолета возик флаттер (разрушительные нарастающие колебания), самолет разбился, но самописцы
в черном ящике записали изменение перегрузки (суммарное механическое колебание). Надо
посмотреть, из каких гармоник состояло это колебание. Каждой гармонике соответствует
некоторая часть конструкции. В результате можно понять, какие части самолета колебались сильнее
всего и вызвали флаттер.
Вернемся к предыдущей ситуации.
Дана функция f(t) на отрезке [0, T].
Выполнена ее дискретизация, для чего отрезок разбит на
N равных частей в точках tn = Tn/N
и вычислены значения функции в этих точках: {x} : xn = f(tn) = f(Tn/N).
Пусть выполнено прямое дискретное преобразование Фурье (далее - ДПФ) {X} : Xk = NAke jφk, и
функция разложена на сумму из N гармоник:
Gk(t) = Ak cos(2πtk / T + φk)
Теперь предположим, что наша исходная функция сама представляла
собой такую гармонику:
f(t) = A cos(2πtm / T + φ).
Получится ли в результате ее преобразования последовательность {X},
в которой все элементы равны нулю, кроме элемента Xm = NAme jφm,
который дает как раз эту гармонику?
Gm(t) = Am cos(2πtm / T + φm) = f(t), Am = A, φm = φ
Как уже говорилось, нет, нас ждет разочарование. Вместо этой одной гармоники
мы получим две:
Как видите у них половинные амплитуды, противоположные фазы, а
частоты зеркально симметрично расположены на отрезке [0, N].
Это - тот самый зеркальный эффект.
Неоднозначность представления суммой гармоник
Преобразуем сумму этих гармоник по формуле суммы косинусов:
Итого:
f'(t) + f''(t) = A cos(πtN / T) cos(2πtm / T - πtN / T + φ) (30)
А нам требовалось:
f(t) = A cos(2πtm / T + φ) (31)
Однако, формулы (30) и (31) дают один и тот же результат в точках
tn = Tn / N. В самом деле, подставим
Tn / N вместо t сначала в (30):
Второй множитель разложим по формуле косинуса разности, отделив
πn:
... = A cos(πn)
[cos(2πnm / N + φ)
cos(πn) +
+ sin(2πnm / N + φ)
sin(πn)] = ...
Учитывая, что для целого n выполняется sin(πn) = 0
и cos2(πn) = 1, получаем:
... = A cos(πn)
[cos(2πnm / N + φ)
cos(πn)] =
= A cos2(πn)
cos(2πnm / N + φ)
= A cos(2πnm / N + φ)
(32)
Теперь подставим Tn / N вместо t в (31):
f(t) = A cos(2πtm / T + φ)
= A cos(2πTnm / TN + φ) =
= A cos(2πnm / N + φ)
(33)
Формулы (32) и (33) совпадают, что и требовалось доказать.
Из этого примера следует важный вывод. Заданная дискретная
последовательность {x} может быть разложена
в общем случае на разные суммы гармоник
Gk(t). Даже в элементарном случае,
когда исходная функция представляла собой одну гармонику,
в результате можно получить две. То есть, разложение
дискретной последовательности на гармоники неоднозначно.
Этим эффектом мы обязаны именно дискретизации. Дело в том, что
если вместо ДПФ использовать его
непрерывный аналог - разложение в ряд Фурье непрерывной функции
или непрерывное преобразование Фурье
f(t), то мы получим единственую
правильную гармонику Gm(t) = A cos(2πtm / T + φ) = f(t). Если же мы применяем ДПФ,
то получим сумму гармоник, которая только в точках дискретизации
совпадает с исходной функцией:
На этом графике для N = 8 и m = 2 синим цветом
показана исходная гармоника f(t) и две гармоники,
которые получаются в результате преобразвания Фурье: f'(t)
зеленым цветом и f''(t)
красным. В точках дискретизации, отмеченных
вертикальными штрихами, сумма гармоник f'(t) и f''(t)
совпадает с гармоникой f(t).
Заметим также, что тот же результат преобразования получился бы, если
бы мы в качестве исходной функции f(t) взяли
2f''(t) или f'(t) + f''(t).
Это следует из того, что в результате
дискретизации была бы получена та же последовательность {x}
и результаты ДПФ, естественно, дали бы то же
самое.
Итак, мы имеем правило:
Разложение на гармоники, когда исходные данные представлены дискретным
набором точек {x} является принципиально неоднозначным.
Функции
f(t) = A cos(2πtm / T + φ),
2f''(t) = A cos(2πt(N-m) / T - φ) и
f'(t) + f''(t) = (A/2) cos(2πtm / T + φ) + (A/2) cos(2πt(N-m) / T - φ) дают после дискретизации одни и те же исходные данные и те же результаты ДПФ.
Доказательство зеркального эффекта
В начале главы упоминалось о том, что в результате ДПФ гармонической
функции на практике получаются две гармоники. Однако этот эмпирический
факт не доказывался. Докажем теперь строго, какие гармоники дает
произвольная гармоническая функция
f(t) = A cos(2πtm / T + φ)
при целочисленном
m [0, N[.
Напомним формулу прямого ДПФ:
В данном случае
xn =
f(tn) = f(Tn / N) =
A cos(2πTnm / NT + φ) =
A cos(2πnm / N + φ)
Введем обозначения:
wn = 2πn / N
Zk,n = (f(tn) / A) e-j2πkn / N
= cos(wnm + φ) e-jwnk
Для k = m = N / 2 или k = m = 0: Xk = ANcos φ Для k = m ≠ N / 2: Xk = (A/2)Ne jφ + (A/2)e -jφ(e -j4πm - 1) / (e -j4πm / N - 1) Для k = (N - m) ≠ N / 2: Xk = (A/2)e jφ(e j4πm - 1) / (e j4πm / N - 1) + (A/2)Ne -jφ Для остальных k: Xk = (A/2)e jφ(e j2π(m - k) - 1) / (e j2π(m - k) / N - 1) + + (A/2)e -jφ(e -j2π(m + k) - 1) / (e -j2π(m + k) / N - 1) (35)
Заметим, что эта формула получена без использования
факта целочисленности m и k.
Теперь учтем целочисленность. Для этого применим Теорему 0 и
заменим в формуле (35) экспоненты на 1 везде, где выполняется это
условие:
Для k = m = N / 2 или k = m = 0: Xk = ANcos φ Для k = m ≠ N / 2: Xk = (A/2)Ne jφ + (A/2)e -jφ(1 - 1) / (e -j4πm / N - 1) Для k = (N - m) ≠ N / 2: Xk = (A/2)e jφ(1 - 1) / (e j4πm / N - 1) + (A/2)Ne -jφ Для остальных k: Xk = (A/2)e jφ(1 - 1) / (e j2π(m - k) / N - 1) + + (A/2)e -jφ(1 - 1) / (e -j2π(m + k) / N - 1)
Сокращаем везде, где получаются нули, и приходим к формулам:
Для k = m = N / 2 или k = m = 0: Xk = ANcos φ Для k = m ≠ N / 2: Xk = (A/2)Ne jφ Для k = (N - m) ≠ N / 2: Xk = (A/2)Ne -jφ Для остальных k: Xk = 0 (36)
Вывод
Зеркальный эффект всегда проявляется так, что гармонические
колебания:
f(t) = A cos(2πtm / T + φ),
2f''(t) = A cos(2πt(N-m) / T - φ) и
f'(t) + f''(t) = (A/2) cos(2πtm / T + φ) + (A/2) cos(2πt(N-m) / T - φ)
в процессе дискретного преобразования Фурье представляются
как сумма колебаний
f'(t) + f''(t).
При этом все коэффициенты ДПФ равны нулю за исключением
Xm = (A/2)Ne jφ
и
XN - m = (A/2)Ne -jφ
кроме частных случаев m = N / 2 и m = 0, в которых
единственный ненулевой коэффициент:
Xm = ANcos φ
В этом последнем частном случае зеркальный эффект
выглядит несколько иначе: у исходного гармонического
колебания теряется фаза и искажается амплитуда. Лишь
частота сохраняется прежней.
Исправление зеркального эффекта
Таким образом зеркальный эффект в подавляющем большинстве случаев
искажает исходную картину, поскольку в действительности очень
редко на вход подается сумма двух гармонических сигналов
f'(t) + f''(t) именно с таким соотношением
частот: m/T и (N - m)/T.
В результате исходный спектр искажается, словно отражаясь в
зеркале:
На этом рисунке сверху показан ожидаемый спектр сигнала,
полученный с помощью непрерывного преобразования Фурье, а снизу -
полученный на компьютере с помощью дискретного преобразования Фурье.
Нижний спектр искажен зеркальным эффектом.
Пусть мы обннаружили ненулевой коэффициент Xm.
Выдвинем гипотезу, что этот коэффициент соответствует
исходному гармоническому колебанию. Восстановим его
амплитуду, фазу и частоту.
Xm = (A/2)Ne jφ f(t) = A cos(2πtm / T + φ).
Частота восстанавливается проще всего: ν = m/T,
где m - индекс найденного ненулевого элемента Xm.
Амплитуда и фаза восстанавливаются по формуле (29):
Знаете ли Вы, что cогласно релятивистской мифологии "гравитационное линзирование - это физическое явление, связанное с отклонением лучей света в поле тяжести. Гравитационные линзы обясняют образование кратных изображений одного и того же астрономического объекта (квазаров, галактик), когда на луч зрения от источника к наблюдателю попадает другая галактика или скопление галактик (собственно линза). В некоторых изображениях происходит усиление яркости оригинального источника." (Релятивисты приводят примеры искажения изображений галактик в качестве подтверждения ОТО - воздействия гравитации на свет) При этом они забывают, что поле действия эффекта ОТО - это малые углы вблизи поверхности звезд, где на самом деле этот эффект не наблюдается (затменные двойные). Разница в шкалах явлений реального искажения изображений галактик и мифического отклонения вблизи звезд - 1011 раз. Приведу аналогию. Можно говорить о воздействии поверхностного натяжения на форму капель, но нельзя серьезно говорить о силе поверхностного натяжения, как о причине океанских приливов. Эфирная физика находит ответ на наблюдаемое явление искажения изображений галактик. Это результат нагрева эфира вблизи галактик, изменения его плотности и, следовательно, изменения скорости света на галактических расстояниях вследствие преломления света в эфире различной плотности. Подтверждением термической природы искажения изображений галактик является прямая связь этого искажения с радиоизлучением пространства, то есть эфира в этом месте, смещение спектра CMB (космическое микроволновое излучение) в данном направлении в высокочастотную область. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
[0, N[
Zk,n
