![]() |
(1908 - 2005) |
Эта фундаментальная теорема показывает, что, если рассматриваемый сигнал ограничен некоторой частотой F сверху, то он может быть дискретизирован, то есть представлен дискретными измерениями с шагом во времени 2/F (полупериод граничной частоты), при этом дискретные измерения через 2/F несут без потерь всю информацию о сигнале.
В западной литературе совершенно бессовестно, в угоду принижения достижений СССР и России, а также в угоду прославления непричастных, но своих, ложно указывается, что данная теорема доказана, якобы, Шенноном и Найквистом. Когда же невозможно назвать ее ложным именем "теорема Найквиста - Шеннона", например, в русскоязычной литературе, то ее "скромно" называют "теоремой отсчетов".
Совершенно непонятна позиция некоторый российских писателей и лекторов, которые называют ее теоремой Шеннона - Котельникова. Из компромиса? - Разве может быть компромис между истиной и ложью?
На самом деле в 1933 году, когда эта теорема была опубликована В.А. Котельниковым в его работе "О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи", Шеннону было 17 лет. В тот год Клод Шеннон (1916 г.р.) только окончил среднюю школу и поступил работать курьером-разносчиком в один из офисов в своем городе, а о теории информации еще слухом не слыхивал.
В трудах Найквиста до сих пор не найдено доказательство этой теоремы, но лишь рассуждения вокруг этой темы. Однако рассуждения на тему и доказательство теоремы - разные вещи.
Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации
с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано, доказано и опубликовано в 1933 году
В. А. Котельниковым: «Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой Fmax
полностью определяется последовательностью своих значений в моменты
времени, отстоящие друг от друга на интервал » Кроме того, теорема
Котельникова дает и способ точного восстановления сигнала
по его отсчетам.
Доказательство
причем
при
(1)
Разложим
функцию в частотной области
на конечном интервале
(с периодом
) в комплексный
ряд Фурье :
где (2)
(3)
Сравнивая
интегралы в (3) и (1), видно, что они равны при , т. е.
тогда
(4)
Подставляем (4) в (2), а затем в (1)
т. к. суммирование по от -¥ до +¥, то можно заменить знак у .
(5)
Максимальные
значения членов ряда будут при и равны
, при этом все
остальные члены ряда равны нулю, т. е. при
функция s(t) точно передается рядом. Во все другие
моменты времени необходимо суммировать бесконечное число отсчетов,
чтобы передать s(t) точно.
|
![]() |