Теорема Котельникова
|
|
(1908 - 2005) |
Эта фундаментальная теорема показывает, что, если рассматриваемый сигнал ограничен некоторой частотой F сверху, то он может быть дискретизирован, то есть представлен дискретными измерениями с шагом во времени 2/F (полупериод граничной частоты), при этом дискретные измерения через 2/F несут без потерь всю информацию о сигнале.
В западной литературе совершенно бессовестно, в угоду принижения достижений СССР и России, а также в угоду прославления непричастных, но своих, ложно указывается, что данная теорема доказана, якобы, Шенноном и Найквистом. Когда же невозможно назвать ее ложным именем "теорема Найквиста - Шеннона", например, в русскоязычной литературе, то ее "скромно" называют "теоремой отсчетов".
Совершенно непонятна позиция некоторый российских писателей и лекторов, которые называют ее теоремой Шеннона - Котельникова. Из компромиса? - Разве может быть компромис между истиной и ложью?
На самом деле в 1933 году, когда эта теорема была опубликована В.А. Котельниковым в его работе "О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи", Шеннону было 17 лет. В тот год Клод Шеннон (1916 г.р.) только окончил среднюю школу и поступил работать курьером-разносчиком в один из офисов в своем городе, а о теории информации еще слухом не слыхивал.
В трудах Найквиста до сих пор не найдено доказательство этой теоремы, но лишь рассуждения вокруг этой темы. Однако рассуждения на тему и доказательство теоремы - разные вещи.
Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации
с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано, доказано и опубликовано в 1933 году
В. А. Котельниковым: «Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой Fmax
полностью определяется последовательностью своих значений в моменты
времени, отстоящие друг от друга на интервал 
» Кроме того, теорема
Котельникова дает и способ точного восстановления сигнала
по его отсчетам.
Доказательство
причем 
при 
(1)
Разложим
функцию 
в частотной области
на конечном интервале 
(с периодом
) в комплексный
ряд Фурье :
где (2)
(3)
Сравнивая
интегралы в (3) и (1), видно, что они равны при 
, т. е. 
тогда
(4)
Подставляем (4) в (2), а затем в (1)
т. к. суммирование по от -¥ до +¥, то можно заменить знак у .
(5)
Максимальные
значения членов ряда будут при 
и равны
, при этом все
остальные члены ряда равны нулю, т. е. при 
функция s(t) точно передается рядом. Во все другие
моменты времени необходимо суммировать бесконечное число отсчетов,
чтобы передать s(t) точно.
Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.
Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.
Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.
Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
|
|
 |