Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал
то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания
с той же частотой 
,
но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты
возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы.
Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного
сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы
с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.
Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики
(aоpn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an)y = (bоpm + b1pm-1 + ... + bm)u.
Учтем, что
а значит
pnu = pnUmejwt = Um (jw)nejwt = (jw)nu.
Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:
По аналогии с передаточной функцией можно записать:
.
W(j), равная
отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому
закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что
она может быть получена путем простой замены p на
W(j) есть
комплексная функция, поэтому:
где P() -
вещественная ЧХ (ВЧХ); Q()
- мнимая ЧХ (МЧХ); А()
- амплитудная ЧХ (АЧХ): 
()
- фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного
сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:
; 
Если W(j)
изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от
0 до + 
его конец будет
вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j),
или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).
Ветвь АФЧХ при изменении
от - до 0 можно получить
зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.
В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
(рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L()
и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ().
Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:
ЛАЧХ получают из первого слагаемого,
которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный
логарифм, а десятичный, то есть L()
= 20lgA().
Величина L()
откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на
10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического
сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10
раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как
По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть
единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой
интервал называется декадой. Так как lg(0) = - ,
то ось ординат проводят произвольно.
ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом
по оси . Величина
()
откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев
она не выходит за пределы: 
+ .
ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.
Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики.
Для этого необходимо подставить в нее j
вместо p, получим АФЧХ W(j).
Затем надо выразить из нее ВЧХ P()
и МЧХ (Q().
После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A()
и ФЧХ (),
а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA()
(ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).
Передаточная функция:
W(p) = k.
)
= k.
) = k.
) = 0.
) = k.
() = 0.
) = 20lgk.
Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.
Передаточная функция:
Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть
) = 
.
)
= 0.
)
= - 1/.
)
= 1/.
()
= - /2.
)
= 20lg(1/)
= - 20lg().
ЧХ показаны на рис.51. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе
на 90о. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и
уменьшается до нуля при росте частоты (звено "заваливает" высокие
частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L()
= 0 при = 1. При увеличении частоты
на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен -
20 дб/дек (децибел на декаду).
При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:
;
;
;
;
()
= 1 - 2
= - arctg(T);
;
)
= 20lg(A())
= - 10lg(1 + (T)2).
Здесь A1 и A2 - амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; 1
и 2 - аргументы
числителя и знаменателя. ЛФЧХ:
ЧХ показаны на рис.52. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке
P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при
< 1 = 1/T можно
пренебречь (T)2
выражении для L(),
то есть ) 
-
10lg1 = 0.. >1
пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть
- 20lg(wT). = 1.
ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота,
тем меньше искажения сигнала по фазе) и к - /2
при возрастании до бесконечности.
Перегиб в точке = 1
при ()
= - /4. ЛФЧХ всех апериодических
звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным
сдвигом вдоль оси частот.
При k = 1 передаточная функция звена: 
.
В виду сложности вывода выражений для
частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.53.
Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена до сопрягающей частоты 1
= 1/T1
Реальная ЛАЧХ при 1
.
Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые
приводятся в справочниках. В предельном случае =
0 получаем консервативное звено, у которого при 1
ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к - 180о. ЛФЧХ можно построить с помощью шаблона, но для этого нужен набор шаблонов для разных коэффициентов демпфирования. При уменьшении коэффициента демпфирования АФЧХ приближается к оси абсцисс и в пределе у консервативного звена она вырождается в два луча по оси абсцисс, при этом фаза выходных колебаний скачком меняется от нуля до - 180о при переходе через сопрягающую частоту (рис.54).
При построении ЧХ некоторых звеньев можно использовать “правило зеркала”: при k = 1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси. Так на рис.55 изображены ЧХ идеального дифференцирующего и идеального форсирующего звеньев.
Если 
1,)
при всех значениях
должна быть увеличена в k раз, то есть )
= kA1().)
= 20lgA() = 20lgkA1()
= 20lgk + 20lgA1(). 1
Для примера на рис.56 приведены частотные
характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического
звена с k = 1 поднята вверх на 20lg10 = 20.
|
|
 |
