(p
- p1)(p
- p2)...(p
- pn) = 0. Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.
Запишем характеристический полином САУ в виде
D(p) = a0(p
- p1)(p
- p2)...(p
- pn) = 0.
Его корни
pi = 
i
+ j
i = |pi|ejarg(pi),
где arg(pi) = arctg(i/ai)
+ k
,
.
Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - pi изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число.
Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как pi - это конкретное неизменное значение.
В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной
частотой ,
то p = j,
а характеристический полином принимает вид:
D(j)
= a0(j
- p1)(j
- p2)...(j
- pn).
При этом концы векторов j
- pi будут находиться на мнимой оси (рис.68в).
Если менять
от - 
до + ,
то каждый вектор j
- pi будет поворачиваться относительно
своего начала pi на угол +p для
левых и - p для правых корней (рис.68г).
Характеристический полином можно представить в виде
D(j)
= |D(j)|ejarg(D(j)),
где |D(j)|
= a0|j
- p1||j
- p2|...|j
- pn|,
arg(D(j))
= arg(j - p1)
+ arg(j - p2)
+ .. + arg(j
- pn).
Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол
поворота вектора D(j)
при изменении
от -
до +
равен
= (n - m)
- m,
или при изменении
от 0 до +
получаем
= (n - 2m)(/2).
Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты
от
- до +
равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0,
умноженному на ,
а при изменении частоты
от 0 до +
эта разность умножается на /2.
Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.
Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота
вектора D(j)
составит
= n/2.
То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j)
при изменении частоты
от 0 до +
повернется на угол n/2.
При этом конец вектора опишет кривую,
называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси,
так как D(0) = an, и последовательно
проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность
в n - ом квадранте (рис.69а).
Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова.
Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.
Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j)
представляют суммой вещественной и мнимой составляющих:
D(j)
= a0(j
- p1)(j
- p2)...(j
- pn) = a0(j)n
+ a1(j)n
- 1 + ... + an = ReD(j)
+ jImD(j),
где
ReD(j)
= an - an - 22
+ an- 4 4
- ...,
ImD(j)
= an - 1
- an - 33
+ an- 5 5
- ....
Меняя
от 0 до
по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной
линией.
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис.70). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.
Передаточная функция разомкнутой САУ:
Wp(p)
= Wp(p)/Dp(p)
= > уравнение динамики: y(t) = 
e(t),
или
Dp(p)y(t)
= Kp(p)e(t).
Здесь Dp(p) - характеристический полином разомкнутой САУ. То есть по виду корней уравнения Dp(p) = 0 можно судить об устойчивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об устойчивости замкнутой САУ.
Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздействие u = 0, тогда на вход первого звена САУ подается сигнал
e(t) = u(t) - y(t) = - y(t).
То есть
Dp(p)y(t)
= Kp(p)(
- y(t)),
следовательно уравнение замкнутой САУ:
(Dp(p) + Kp(p))y(t)
= 0.
Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой САУ:
Dз(p) = Dp(p) + Kp(p) = 0.
По виду его корней уже можно судить об устойчивости замкнутой САУ.
Воспользуемся вспомогательной функцией:
F(j)
= 1 + Wр(j)
= 
.
По сути дела она представляет собой АФЧХ разомкнутой САУ, сдвинутую на единицу
вправо. Степени полиномов Dз(j)
и Dp(j)
равны n. Эти полиномы имеют свои корни pзi и
ppi, то есть можно записать:
F(jw) = 
.
Каждую разность в скобках можно представить вектором на комплексной плоскости,
конец которого скользит по мнимой оси
(рис.63в). При изменении
от -
до +
каждый из векторов j
- pi будет поворачиваться на угол +p,
если корень левый и -p, если корень правый.
Пусть полином Dз(jw) имеет m правых корней и n - m левых,
а полином Dp(j)
имеет g правых корней и n - g левых. Тогда суммарный угол поворота
вектора функции F(j)
при изменении частоты
от -
до + :
p[(n - m) - m)] - p[(n
- g) - g] = 2p(g - m).
Если замкнутая САУ устойчива, то m = 0, тогда суммарный поворот вектора
F(j) при
изменении
от -
до +
должен быть равен 2g,
а при изменении
от 0 до +
он составит 2g/2.
Отсюда можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая
САУ неустойчива и имеет g правых корней, то для того, чтобы замкнутая
САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор F(j)
при изменении
от 0 до +
охватывал начало координат в положительном направлении g/2 раз, то есть
АФЧХ разомкнутой САУ должна охватвать g/2 раз точку ( - 1, j0).
На рис.71а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис.71б - замкнутая САУ неустойчива.
На рис.71в и 71г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно
устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ
при 
0 уходит в бесконечность.
В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса.
Достоинство. Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.
Дело в том, что в его постановке и выводах произведена подмена, аналогичная подмене в школьной шуточной задачке на сообразительность, в которой спрашивается:
- Cколько яблок на березе, если на одной ветке их 5, на другой ветке - 10 и так далее
При этом внимание учеников намеренно отвлекается от того основополагающего факта, что на березе яблоки не растут, в принципе.
В эксперименте Майкельсона ставится вопрос о движении эфира относительно покоящегося в лабораторной системе интерферометра. Однако, если мы ищем эфир, как базовую материю, из которой состоит всё вещество интерферометра, лаборатории, да и Земли в целом, то, естественно, эфир тоже будет неподвижен, так как земное вещество есть всего навсего определенным образом структурированный эфир, и никак не может двигаться относительно самого себя.
Удивительно, что этот цирковой трюк овладел на 120 лет умами физиков на полном серьезе, хотя его прототипы есть в сказках-небылицах всех народов всех времен, включая барона Мюнхаузена, вытащившего себя за волосы из болота, и призванных показать детям возможные жульничества и тем защитить их во взрослой жизни. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
|
|
 |
