Переходные процессы при L=0 и “медленных” изменениях воздействующего фактора

К задачам данной группы ранее были отнесены переходные процессы в системе преобразователь - двигатель (П-Д). Фактор, вызывающий переходный процесс, изменяется не мгновенно (темп его изменения соизмерим с темпом изменения скорости привода в переходном процессе); учитывается только механическая инерция в приводе (J), индуктивности в цепях двигателя малы или не проявляются.

Типичные структуры системы П-Д и соответствующие механические характеристики показаны на рис. 11 и 12.

а) б)

Рис. 11. Система ПН-ДПТ и ее механические характеристики

Роль преобразователя П в схеме на рис. 11, как отмечалось, может играть генератор (система Г-Д) или тиристорный преобразователь (ТП-Д). Фактор, вызывающий переходный процесс в этих системах, - изменение входного сигнала u_вх, приводящее к изменению ЭДС преобразователя е_п.

а) б)

Рис. 12. Система ПЧ-АД и ее механические характеристики

Роль преобразователя П в схеме на рис. 12 играет статический преобразователь частоты. Фактор, вызывающий переходный процесс в этих системах, - изменение входного сигнала u_вх, приводящее к изменению частоты и напряжения на выходе преобразователя.

Как и прежде, целью изучения переходных процессов в системе П-Д будет определение зависимостей w (t), М(t) и иногда i(t) при известных условиях переходного процесса и параметрах привода.

Введем ряд условий и допущений.

1. Механические характеристики привода w (М) известны, линейны (по крайней мере, на рабочих участках) и параллельны друг другу, то есть выражаются уравнением (4):

где - жесткость характеристик.

2. Известны или могут быть определены зависимости е_п(t) или f₁(t), то есть закон изменения во времени фактора, вызывающего переходный процесс. Так как е_п или f₁однозначно связаны со скоростью идеального холостого хода привода w ₀

- для схемы на рис. 11,

- для схемы на рис. 12,

то известен закон изменения во времени w ₀.

3. Известно начальное (w _нач, М_нач) и конечное (w _кон, М_кон) состояние привода, момент инерции J и момент сопротивления М_с = const.

4. Преобразователь П обладает двусторонней проводимостью, то есть характеристики w (М) могут располагаться во всех квадрантах плоскости w , М.

Рассмотрим прежде всего качественные отличия переходных процессов в системе П-Д от изученных ранее случаев, когда е_п или f₁изменялись мгновенно, то есть мгновенно устанавливалась соответствующая новая механическая характеристика, а изменение скорости w и момента М в переходном процессе происходило согласно именно этой характеристике. Переходный процесс определялся статической механической характеристикой привода.

В рассматриваемых далее задачах е_п или f₁изменяются, как указывалось, не мгновенно, то есть переход привода с одной характеристики на другую происходит постепенно, одновременно с изменением скорости, в результате чего соответствие между скоростью w и моментом М в каждый момент времени определяется не статической механической характеристикой, а другой, отличной от нее характеристикой, которую мы далее будем называть динамической механической характеристикой или просто динамической характеристикой.

В качестве примера на рис. 13 показана статическая характеристика асинхронного двигателя при номинальной частоте 1, по которой будет происходить пуск при мгновенном приложении к двигателю напряжения такой частоты, и динамическая характеристика 2, соответствующая пуску двигателя путем плавного изменения частоты от нуля до номинальной по некоторому закону.

Рис. 13. Статическая 1 и динамическая 2 механические характеристики

Динамические характеристики определяются темпом изменения фактора, вызывающего переходный процесс, и параметрами привода, могут очень сильно отличаться от статических характеристик и даже иметь совсем другую форму.

Легко обнаружить связь зависимостей w (t) и М(t) с динамической характеристикой привода: исключив время t из уравнений w (t) и М(t), мы получим динамическую характеристику.

а) Уравнения, описывающие переходные процессы.

Из уравнения механической характеристики (4) получим:

М = Ѕ b Ѕ w _{0 -}Ѕ b Ѕ w . (5,а)

Подставив (5,а) в уравнение движения (1), после элементарных преобразований будем иметь:

(13)

Коэффициент при производной как и раньше, - электромеханическая постоянная времени Т_м. Правая часть уравнения представляет собою скорость w _с, соответствующую моменту сопротивления М_с, однако, в рассматриваемом случае w ₀ , а значит и w _с не постоянные величины, а известные функции времени w ₀(t) и w _c(t). Таким образом, уравнение (13) имеет вид:

. (14)

Решение этого дифференциального уравнения определит искомую зависимость w (t).

Для получения зависимости М(t) удобно воспользоваться непосредственно уравнением движения (1), подставив в него производную найденной функции w (t):

(15)

Правая часть уравнения (14), вообще говоря, может иметь любой вид. Закон w ₀(t) в случае безынерционного преобразователя формируется на его входе; при инерционном преобразователе закон w ₀(t) связан со свойствами преобразователя. В ряде случаев закон w ₀(t) формируется таким образом, чтобы получить требуемый закон w (t).

б) Уравнение переходных процессов при линейном законе w _с(t)

Получим решение уравнения (14) для одного важного вида функции w _с(t) - для линейного изменения w _с во времени:

w _с(t) = а + kt. (16)

Такой закон может быть сформирован при безынерционном преобразователе с помощью задатчика интенсивности.

Мы используем здесь общее уравнение прямой, не накладывая пока никаких ограничений на величины а и k с тем, чтобы, рассматривая частные случаи, можно было пользоваться полученным общим результатом.

Уравнение (14) с учетом (16) имеем вид:

(17)

Решение будем искать, как и прежде, в виде суммы свободной w _св и принужденной w _прсоставляющих:

w = w _св + w _пр . (*)

Свободная составляющая, то есть решение однородного уравнения, полученного из (17) имеет вид:

Принужденную составляющую будем искать, учитывая (16), в виде:

w _пр = В + kt,

так как в установившемся режиме скорость будет линейно изменяться во времени. Подставив w _пр в (17) получим:

В + kt + kT_м = a + kt

или

B = a - kT_м.

Подставим теперь w _св иw _пр в (*):

Постоянную А найдем, используя начальные условия: при t = 0 w = w _нач:

w _нач = А + а - kT_м,

откуда

А = w _нач - а + kT_м

Окончательно будем иметь:

. (18)

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых конкретных переходных процессов в системе П-Д.

в) Пуск вхолостую.

Будем полагать, что закон изменения во времени фактора, вызывающего переходный процесс, е_п или f₁ или в общем случае w ₀ имеет вид, представленный на рис. 14 справа вверху. Так как М_с = 0 (пуск вхолостую), то w _с = (t) будет совпадать с w ₀(t) - см. уравнение (13), т.е. а = 0 и

где e - ускорение, характеризующее темп изменения w ₀;

при 0 < t < t₁ w _с(t) = e t;

при t > t₁ w _с(t) =w ₀₁ = сonst.

Излом функции w _с(t) при t = t₁ свидетельствует о том что переходный процесс состоит из двух этапов, и его необходимо рассчитать отдельно для каждого участка.

I этап (0 < t < t₁).

Приняв, что при t = 0 w _нач= 0 и подставив в (18) а = 0, k = e , получим

(19)

Рис. 14. Механические характеристики и графики переходного процесса при пуске вхолостую с w ₀(t) = e t

Воспользовавшись уравнением (15), найдем закон изменения момента во времени:

(20)

Проанализируем полученные уравнения.

Ускорение привода определится как

и при t = 0 Этот результат очевиден: при t = 0 w _с = w ₀= 0 т.е. е_п = 0 или f₁ = 0, привод не развивает момента и в соответствии с уравнением движения (1) и .

При t > 3Т_м , т.е. скорость изменяется в том же темпе, что и фактор, вызывающий переходный процесс. Из уравнения (19) следует, что при t > 3Т_м

w = e (t - Т_м) = w _с(t) - e Т_м. (19,а)

Графики w _с(t) и w (t) представлены на рис. 14. Кривая w (t) сдвинута вправо относительно кривой w _с(t) на величину Т_м; в каждый момент времени при t > 3Т_м разница между w _с и w составляет e Т_м.

Момент в соответствии с (20) возрастает по экспоненциальному закону (см. рис. 14) и при t > 3Т_м достигает величины

M_макс = Je . (20,а)

Это соотношение позволяет оценить допустимую величину e . Действительно, если считать, что в переходном процессе М_макс = М_доп, то

В частности, можно найти минимальное время пуска привода при котором момент не превысит допустимого значения:

Если положить, что М_доп = 2 М_н, а , что справедливо для нормальной электрической машины средней мощности, то получим

II этап (t > t₁).

На II этапе w _с =w ₀₁ , а значит, и е_пили f₁ имеют постоянную величину. Переходный процесс в этом случае ничем не отличается от рассмотренных ранее переходных процессов, отнесенных к первой группе задач. Если отсчитывать время от t₁, (точка 0’), то скорость w и момент М будут изменяться в соответствии с уравнением (10); в качестве х_нач следует принять значения w и М в момент времени t₁. Если t₁< 3Т_м, начальные значения должны быть лпределены по (19) и (20) при подстановке в эти уравнения t = t₁.

В качестве х_кон, очевидно, следует взять w ₀₁ и 0.

Графики w (t) и M(t) на II этапе показаны на рис. 14. Там же слева приведена динамическая механическая характеристка для случая пуска вхолостую.

Все рассмотренные выше величины и зависимости имеют очевидный физический смысл для системы П-Д с двигателем постоянного тока. Действительно,

т.е. кривая w ₀(t) представляет собою в некотором масштабе закон изменения во времени е_п, а кривая w (t) - закон изменения е в том же масштабе. Разность этих величин в соответствии с вторым законом Кирхгофа определит ток, протекающий в якорной цепи:

а значит, и момент, развиваемый двигателем

M(t) = ci(t).

г) Реверс (торможение) вхолостую.

Для осуществления реверса w ₀должна изменить направление. Это значит, что е_п уменьшается до 0, затем изменяет полярность и возрастает до заданной величины, либо f₁ уменьшается до 0, меняется чередование фаз и f₁ возрастает до заданной величины.

Как и прежде, будем считать, что изменение w ₀ во времени осуществляется по линейному закону при (0 < t < t₁), затем при t > t_{1 w 0}= w ₀₁. Таким образом, переходный процесс состоит из двух участков, которые следует рассматривать отдельно. Так как переходный процесс осуществляется вхолостую (М_с = 0), то w _с(t) = w ₀(t).

I этап (0 < t < t₁).

На I этапе изменение w _с(t) можно представить уравнением (16), подставив в него а = w ₀₁, k = -e . Тогда, воспользовавшись уравнением (18), в котором w _нач= w ₀₁, получим

или

(21)

Уравнение (16) определяет закон изменения М во времени:

(22)

Проанализируем полученные уравнения.

Ускорение привода

При t = 0 , что очевидно и с физической точки зрения: при t = 0 М= 0 т.е. и .

При t > 3Т_м , т.е. как и при пуске, скорость изменяется в том же темпе, что и фактор, вызвавший переходный процесс. При t > 3Т_м

w = w ₀₁ - e (t - Т_м) = w _с(t) + e Т_м,

т.е. как и при пуске, кривая w (t) располагается правее кривой w _с(t) , причем сдвиг по оси t составляет величину Т_м, а в каждый момент времени при t > 3Т_м разница между w _с и w составляет e Т_м.

Момент отрицателен и изменяется по экспоненциальному закону до величины

M_макс = - Je .

II этап (t > t₁).

Переходные процессы на II этапе подчиняются уравнению (10) и рассчитывается очевидным образом.

Кривые w _с(t), w (t) и М(t) и динамическая характеристика показаны на рис. 15.

Рис. 15. Механические характеристики и графики переходного

процесса при реверсе вхолостую с w ₀(t) = -e t

При торможении вхолостую w ₀ изменяется от значения w ₀₁ до нуля. Как и при реверсе, процесс состоит из двух этапов, причем на I этапе (0 < t < t₁ ) кривые w (t) и М(t) не отличаются от аналогичных кривых при реверсе, а на II этапе - подчиняются уравнению (10) с соответствующими х_нач и х_кон.

Кривые w (t) и М(t), а также динамическая характеристика показана на рис. 16.

Рис. 16. Механические характеристики и графики переходного

процесса при торможении вхолостую с w ₀(t) = -e t

Рассмотрим кратко порядок операций при построении кривых переходного процесса в рассматриваемых случаях.

1. Изображается w _с(t), в рассмотренных случаях w _с(t)= w ₀(t); отмечаются этапы и определяется e на этапе, где w _с(t) изменяется.

2. Проводится линия, параллельная w _с(t) и сдвинутая вправо на Т_м, - это и будет основа графика w (t).

3. Корректируется график w (t) на начальном и конечном (II) участках, введением экспонент с постоянной времени Т_м.

4. Строится основа графика М(t) - прямоугольник со сторонами 0 - t₁ и Je ; в случае реверса и торможения e имеет отрицательный знак.

5. Корректируется график М(t) на начальном и конечном участках, введением экспонент с постоянной времени Т_м.

Переходные процессы под нагрузкой.

Общие формулы (15) и (18) справедливы и для этого случая, вместе с тем различия в характере нагрузки - М_с может быть как активным, так и реактивным - и в начальных условиях делают задачи разнообразными и иногда не очень простыми.

Выясним прежде всего, как будет изменяться правая часть (13), т.е. w _с(t) =w ₀(t) - М_с / к b Ѕ , при тех же, что и прежде, изменениях w ₀(t), но различном характере М_с.

Как показано на рис. 17, при активном моменте сопротивления w _с(t) располагается ниже w ₀(t) на D w и никаких существенных отличий в алгоритме решения задачи нет. Единственное, пожалуй, о чем следует позаботиться, - о правильном учете начальных условий при пуске. Возможны два случая - первый, когда при t = 0 w = 0, т.е. когда растормаживание привода с активным моментом и начало роста w ₀(t) совпадают, и второй, когда до начала пуска привод вращался под действием активного М_с с небольшой скоростью -D w - пунктир на рис. 17.

Рис. 17. Переходный процесс пуска при активном М_с

При пуске с реактивным М_с(рис. 18) скорость начинает изменяться через некоторое время t_з, за которое момент двигателя вырастет до значения М_с. В качестве примера на рис. 18 показаны все кривые, соответствующие этому случаю.

Рис. 18. Переходный процесс пуска при реактивном М_с

При реверсе с реактивным М_с имеются две ветви w _с(t), причем переход с одной на другую осуществляется в момент времени, когда скорость, достигнув нулевого значения, изменит знак.

Таким образом, как следует из изложенного в системе преобразователь - двигатель можно формировать любые требуемые динамические характеристики.

к оглавлению

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира