Основные понятия и принципы анализа переходных процессов

Все процессы в электрических цепях можно рассматривать в двух режимах - установившемся и переходном. Установившимся режимом называют такое состояние электрической цепи, когда параметры ее элементов, токов и напряжений остаются неизменными. Переходным режимом или переходным процессом в электрической цепи называют режим, при котором параметры элементов или параметры токов и напряжений изменяются в функции времени.

Изменение параметров электрической цепи может происходить только за конечный промежуток времени, т.к. оно связано с изменением количества энергии, запасенной в электрических и магнитных полях. Однако при анализе переходных процессов обычно пренебрегают существованием электрических или магнитных полей на том или ином участке цепи, считая что ток или напряжение мгновенно изменяются на некоторую конечную величину. Процесс скачкообразного (мгновенного) изменения какого-либо параметра электрической цепи называется коммутацией. При анализе переходных процессов отсчет времени принято производить от этого момента.

Идеальный ключ -

в замкнутом состоянии обладает нулевым сопротивлением и эквивалентен идеальному проводнику;

в разомкнутом состоянии обладает бесконечно большим сопротивлением и эквивалентен разрыву цепи;

переходит из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени (мгновенно).

На рис. 1 г) и д) показаны примеры реализации с помощью ключей мгновенного изменения сопротивления. В первом случае значение сопротивления при коммутации изменяется от r₁+r₂ до r₂, а во втором - от r₁r₂/( r₁+r₂) до r₁. Аналогично с помощью ключей можно скачкообразно изменять ток и напряжение источников. На рис. 1 е) ток I скачком изменяется от J₁+J₂ до J₁, а на рис. 1 з) напряжение U при коммутации изменяется от E₁ до E₂ .

Как уже отмечалось выше, наличие электрических и магнитных полей не позволяет произвести мгновенное изменение состояния цепи. Поля на электрических схемах обозначаются индуктивностями и емкостями. При этом напряжение на индуктивности цепи равно u_L = LЧ di_L/dt, а ток через емкость - i_C = CЧ du_C/dt. Таким образом, мгновенное изменение тока в индуктивности i_L или напряжения на емкости u_C должны создавать бесконечно большое напряжение или ток на соответствующем участке цепи, нарушающие законы Кирхгофа. Но законы Кирхгофа не могут нарушаться в принципе, т.к. они являются одной из форм закона сохранения энергии. Следовательно, скачкообразное изменение рассмотренных параметров невозможно, что формулируется в виде

законов коммутации :

мгновенное изменение тока в индуктивности невозможно, поэтому ток в ней до и первый момент после коммутации одинаковы, т.е. i_L(0- ) = i_L(0₊);

мгновенное изменение напряжения на емкости невозможно, поэтому напряжение на ней до и в первый момент после коммутации одинаковы, т.е. u_C(0- ) = u_C(0₊).

В теории переходных процессов под i(0- ) понимают значение некоторой величины в момент времени непосредственно предшествующий коммутации, а под i(0₊) - значение этой величины в момент времени непосредственно следующий за коммутацией.

В простейшем случае переходному процессу предшествует установившийся режим и заканчивается он также установившимся режимом. Значения токов и напряжений в электрической цепи в момент времени t = 0 называются начальными значениями или начальными условиями. Причем эти значения при коммутации могут изменяться или оставаться постоянными в первый момент времени. Начальные значения, не изменяющиеся при коммутации и определяемые по состоянию цепи до нее, называются независимыми начальными значениями. Очевидно, к ним относятся токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Остальные начальные значения величин называются зависимыми и определяются по состоянию цепи после коммутации с учетом независимых начальных значений.

Значения токов и напряжений в цепи после переходного процесса, т.е. при t = µ , называются установившимися значениями.

Как известно, напряжения и токи в индуктивностях и емкостях являются производными и интегралами соответствующих величин. Поэтому уравнения Кирхгофа для электрической цепи содержащей реактивные элементы будут дифференциальными или интегро-дифференциальными и задачей анализа переходных процессов является их решение.

Из курса математики известно, что решение неоднородного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного. Решение однородного дифференциального уравнения соответствует процессам в электрической цепи при отсутствии внешних источников энергии, т.е. режиму, при котором энергия электрических и магнитных полей преобразуется без внешнего воздействия. Эта составляющая решения называется свободной составляющей.

Свободную составляющую решения ищут в виде функции a=Ae^pt . Эта функция замечательна тем, что n-я производная от нее равна pⁿAe^pt. Поэтому при подстановке ее в однородное дифференциальное уравнение n-го порядка

Последнее выражение называется характеристическим уравнением. Корни характеристического уравнения определяют показатели экспонент решения однородного дифференциального уравнения. Из приведенных преобразований следует, что характеристическое уравнение можно получить из дифференциального формальной заменой производной k-го порядка на p^k.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения обычно проще найти для установившегося режима и его называют установившейся составляющей.

В анализе переходных процессов особую роль играет показательная функция вида a(t) = Ae^-t/t, где e - основание натуральных логарифмов, или экспонента. Это связано с тем, что решения дифференциальных уравнений представляют собой сумму экспонент.

Экспонента обладает рядом особенностей, которые имеют большое значение при анализе переходных процессов. Значение e^-t/tпри t = 0 равно единице, поэтому a(0) = A. При t ® µ , e^-t/t® 0 и a(t) ® 0

Коэффициент t , имеющий размерность времени, определяет скорость изменения величины a(t) и называется постоянной времени экспоненты. Чем меньше постоянная времени, тем быстрее протекает переходный процесс. Выберем произвольно два момента времени, отстоящие друг от друга на время t . Значения a(t) для этих моментов - a₁(t) = Ae^-t/tи a₂(t) = Ae^-(t+t)/t, а их отношение a₁(t)/a₂(t) = e^{-(t- t-t )/t}= e, следовательно, в течение постоянной времени величина a(t) изменяется в е-раз. Графически это свойство экспоненты проявляется в том, что касательная к ней в любой точке пересекает установившееся значение в точке, отстоящей по времени от точки каcания на величину t (рис. 2).

Теоретически экспонента в течение конечного интервала времени не достигает установившегося значения, т.е. любой переходный процесс должен продолжаться бесконечно. Однако при t = 3t значение экспоненты отличается от установившегося на 5%. Поэтому интервал времени равный 3t считают длительностью переходного процесса.

В анализе переходных процессов столь же часто как функция a(t) = Ae^-t/tвстречается функция a(t) = A(1- e^-t/t) (рис. 2). Она обладает теми же свойствами и отличается только установившимся значением.

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.