Операторный метод расчета переходных процессов

Анализ переходных процессов даже для относительно простых цепей зачастую представляет значительные сложности, т.к. требует решения дифференциальных уравнений. Задачу можно существенно упростить, если преобразовать уравнения, сделав их алгебраическими. Но в переходных процессах во всех функциях переменной величиной является время, поэтому для исключения производных требуется перейти к новой не зависящей от времени переменной. Такой переход для функции f(t) можно осуществить, например, с помощью преобразования Лапласа

где p = a + jb - некоторое комплексное число, являющееся переменной функции F(p).

Функция времени f(t) называется оригиналом, а функция комплексной переменной F(p) - ее изображением.

где интеграл вычисляется по прямой на плоскости комплексной переменной p, проходящей параллельно мнимой оси правее всех особых точек функции F(p).

Переход от изображения к оригиналу функции может быть выполнен также с помощью формулы разложения.

Обычно изображение искомой величины F(p) получают (или его можно представить) в виде рациональной дроби

Это выражение при условии, что n < m и знаменатель не имеет кратных корней, можно разложить на сумму простых дробей

Определим постоянные A_k. Для этого обе части выражения (4) умножим на (p - p₁)

При p = p₁ правая часть выражения (5) равна A₁, а левая становится неопределенной, т.к. F₂(p₁) = 0. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим

Следовательно, каждая постоянная в выражении (4) представляет собой отношение числителя исходной дроби к производной от знаменателя при подстановке в них соответствующего корня уравнения F₂(p) = 0. Отсюда

Оригинал функции F(p) можно найти из выражения (7). В нем каждое слагаемое представляет некоторый постоянный коэффициент F₁(p_k)/F₂^'(p_k), умноженный на функцию 1/( p - p_k), оригиналом которой (см. таблицу 1) является e^pkt. Таким образом

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между падениями напряжения в замкнутом контуре электрической цепи и ЭДС, действующими в этом контуре. По форме он представляет собой сумму этих величин и, следовательно, может быть линейно преобразован по Лапласу в виде

где q и w - соответственно число индуктивностей и емкостей в контуре с ненулевыми начальными значениями. Выражение второго закона Кирхгофа для изображений отличается от записи для оригиналов наличием дополнительных ЭДС, соответствующих начальным значениям токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Если же применять этот закон к операторной схеме замещения, где начальные значения учтены источниками ЭДС, то формально составление уравнений будет полностью аналогично области оригиналов, только число источников будет больше на число ненулевых начальных значений.

Найдем токи протекающие в электрической цепи рис. 2 а) после замыкания ключа, если E = 100 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 5 Ом, L = 100 мГн , C = 10 мкФ и в момент коммутации емкость была полностью разряжена.

Так как до замыкания ключа S ток в индуктивности и напряжение на емкости были равны нулю, то в операторной схеме замещения не будет источников ЭДС, соответствующих начальным значениям, и она будет иметь вид, представленный на рис. 2 б).

где b₂ = R₁LC; b₁ = L+R₁R₂C; b₀ = R₁+R₂; a₂ = LC; a₁ = R₂C.

при данных задачи равные p₁ = - 261 и p₂ = - 4789. Таким образом, переходный процесс в цепи апериодический и будет продолжаться 3t ₁ = 3/261 = 11.5 мс.

Для определения оригинала тока воспользуемся выражением (9). Тогда ток i₁ будет

где Z₂(p) = R₂+pL и Z₃(p) = 1/(pC) операторные сопротивления соответствующих ветвей. Подставив выражение для I₁(p), получим изображение I₃(p)

Ток в индуктивности проще всего найти, воспользовавшись первым законом Кирхгофа

Таким образом, ток в емкости i₃ в момент коммутации скачком возрастает от гуля до 5.0 А, а затем апериодически спадает до нуля. Ток в индуктивности i₂ в момент коммутации равен нулю и далее монотонно возрастает до установившегося значения, равного 4.0 А. Входной ток после замыкания ключа скачком возрастает до 5.0 А и со временем снижается до 4.0 А.

Знаете ли Вы, что такое "Большой Взрыв"?
Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии "Большой взрыв (англ. Big Bang) - это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно - начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения..."
В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею.
На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве.
Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как "взрыв" - понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых.
Во-вторых, Вселенная - это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной).
В третьих, фраза "представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва" тоже есть сплошной нонсенс.
Что могло быть "вблизи Большого взрыва", если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
C	C/p	t	1/p²

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
Af(t)	AF(p)

Оригинал		Изображение
	u = Ri		U(p) = RI(p)
			U(p) = pLI(p)- Li(0)