В зависимости от структуры информационных параметров сигналы подразделяют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.
Сигнал считают дискретным по данному параметру, если число значений, которое может принимать этот параметр, конечно (или счетно). Если множество возможных значений параметра образует континуум, то сигнал считают непрерывным по данному параметру. Сигнал, дискретный по одному параметру и непрерывный по другому, называют дискретно-непрерывным.
В соответствии с этим существуют следующие разновидности математических представлений (моделей) детерминированного сигнала:
Рассматриваемые модели сигналов в виде функций времени предназначены в первую очередь для анализа формы сигналов. Желательно найти такое представление сигнала, которое облегчает задачи исследования прохождения реальных сигналов, часто имеющих достаточно сложную форму, через интересующие нас системы. С этой целью сложные сигналы представляются совокупностью элементарных (базисных) функций, удобных для последующего анализа.
Наиболее широкий класс исследуемых систем - это инвариантные во времени линейные системы.
При анализе прохождения сложного сигнала u(t) через такие системы его представляют в виде взвешенной суммы базисных функций (t) (или соответствующего ей интеграла):
где [
При выбранном наборе базисных функций сигнал
u(t) полностью определяется совокупностью безразмерных коэффициентовНа интервале [
tгде ц
(б, t) - базисная функция с непрерывно изменяющимся параметромВ этом случае имеется непрерывный (сплошной) спектр сигнала, который представляется спектральной плотностью
S(Совокупность методов представления сигналов в виде (1.1) и (1.2) называют обобщенной спектральной теорией сигналов. В рамках линейной теории спектры являются удобной аналитической формой представления сигналов.
Для теоретического анализа базисные функции
В случае практической аппроксимации реального сигнала совокупностью базисных сигналов решающее значение приобретает простота их технической реализации. Сигнал представляется суммой ограниченного числа
Ортогональные представления сигналов. Вычисление спектральных составляющих сигнала существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций.
Систему функций
Эта система функций будет ортонормированной (ортонормальной), если для всех
Если соотношение (1.4) не выполняется и
то систему можно нормировать, умножая функции
Определим коэффициенты
предполагая, что интервал [
tПравую и левую части уравнения (1.5) умножаем на
В силу справедливости условия (1.3) все интегралы в правой части выражения (1.6) при
В теоретических исследованиях обычно используют полные системы ортогональных функций, обеспечивающие сколь угодно малую разность непрерывной функции
u(t) и представляющего ее ряда при неограниченном увеличении числа его членов. Разность оценивают по критериюПри этом говорят о среднеквадратической сходимости ряда
Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций кратных аргументов:
На рис.1.2 приведена система функций Хаара, ортонормированность которых на интервале 0-1 также очевидна. Известны представления сигналов по системам ортогональных базисных многочленов Котельникова, Чебышева, Лаггера, Лежандра и др., а также неортогональные разложения по функциям Лагранжа, Тейлора и др
Обобщенная спектральная теория облегчает решение проблемы обоснованного выбора базисных функций для конкретных задач анализа процессов, происходящих при формировании и прохождении сигналов через те или иные звенья информационной системы.
|
![]() |