к библиотеке   к оглавлению   визуальные среды - 4GL   технологии программирования

Прикладная теория информации

Частотное представление стационарных случайных сигналов

Дискретные спектры. Корреляционную функцию Ru(t ) (рис.1.14) стационарного случайного процесса, заданного на конечном интервале времени [-Т, Т], можно разложить в ряд Фурье (1.15), условно считая ее периодически продолжающейся с периодом 4T (при - T<. t1, t2<T, - 2Ф<ф<2Ф):

где

Учитывая, что Ru(t ) является четной функцией, имеем

Положив ф = t1 - t2, находим

что согласно (1.89) представляет собой каноническое разложение корреляционной функции. По нему, как было указано ранее, получаем каноническое разложение случайного процесса:

причем

Выражение (1.95) записано для случайного процесса с нулевой постоянной составляющей, что характерно для многих реальных сигналов. В общем случае в правую часть этого выражения необходимо добавить постоянную величину, соответствующую математическому ожиданию случайного процесса (mu). Корреляционная функция при этом не изменяется.

Очевидно, что при попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положительными и отрицательными индексами k каноническое разложение (1.95) приводится к тригонометрической форме.

Таким образом, стационарный случайный процесс на ограниченном интервале времени можно представить совокупностью гармонических составляющих различных частот с амплитудами, являющимися некоррелированными случайными величинами, математические ожидания которых равны нулю:

где

На спектральной диаграмме такого процесса каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна дисперсии ее амплитуды, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте (рис.1.15).

Чтобы получить описание стационарного случайного процесса в точном смысле, т.е. справедливое для любого момента времени на бесконечном интервале - <t<, необходимо перейти к интегральному каноническому разложению.

Непрерывные спектры. Интегральное каноническое разложение для корреляционной функции получим из формулы (1.91) путем предельного перехода при Т. Увеличение интервала времени, на котором наблюдается случайный процесс, сопровождается уменьшением значений дисперсий, что следует из (1.92), а также сокращением расстояния между спектральными линиями, поскольку

При достаточно большом, но конечном Т можно записать выражение для средней плотности распределения дисперсии по частоте:

S(w k) = Dk / (Дщ) = 2DkT / (k = 0,±l, ±2,.) (1.98)

где S(w k) - средняя плотность дисперсии на участке, прилегающем к частоте щk.

Теперь можно преобразовать формулы (1.94) и (1.98) к виду

Переходя к пределу при Т, получаем

где

Так как величина S(щk) Дщ являлась не только дисперсией Dk коэффициента разложения корреляционной функции Ru(t ), но и дисперсией D [Ck] коэффициента разложения случайного процесса U(t), то величина Suu(w ) dw , полученная в результате предельного перехода при Т, представляет собой дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие стационарного случайного процесса, занимающие бесконечно малый интервал частот (щ, щ + dw ). Функцию Suu(w ), характеризующую распределение дисперсии случайного процесса по частотам, называют спектральной плотностью стационарного случайного процесса U(t).

Выражение для интегрального канонического разложения корреляционной функции Ru(t ) найдем, положив в формуле (1.101) ф = t1 - t2:

Обозначив G(w ) = Сk / (w ) и повторив процедуру предельного перехода при T для соотношения (1.95), получим каноническое разложение стационарной случайной функции U(t):

где дисперсией случайной функции G(w ) dw является функция Suu(w ) dw .

Поскольку понятие спектральной плотности стационарного случайного процесса играет большую роль при исследовании преобразования сигналов линейными системами, уточним ее свойства и физический смысл.

Основные свойства спектральной плотности. Отметим, что в формулах (1.101) и (1.102) Suu(w ) определена как для положительных, так и для отрицательных частот. Перейдем к одностороннему спектру, ограничиваясь только положительными частотами. Воспользовавшись формулой Эйлера, представим соотношение (1.102) состоящим из двух слагаемых:

В силу четности функции Ru(t ) второе слагаемое равно нулю, а первое можно преобразовать к виду

Из (1.105) следует, что Suu(w ) является действительной и четной функцией, т.е.

Это позволяет ограничиться положительными частотами и в (1.101):

Соотношения (1 101) и (1.102), а также (1.105) и (1.107) являются парами интегрального преобразования Фурье, причем (1.105) и (1.107) для случая четной функции. Поэтому корреляционная функция и спектральная плотность подчинены закономерности: чем протяженнее кривая Suu(щ), тем уже корреляционная функция Ru(t ) (тем меньше время корреляции), и наоборот.

Площадь, ограниченная непрерывной кривой Suu(w ) на спектральной диаграмме, очевидно, должна равняться дисперсии Du случайного процесса U(t). Действительно, положив в формуле (1.107) ф = 0, получим

Подразумевая под случайным процессом U(t) напряжение, Du можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим напряжением на резисторе с сопротивлением в 1 Ом:

Следовательно, величина

представляет собой долю средней мощности, выделяемой составляющими спектра, относящимися к интервалу частот (щ, щ + dw ).

В связи с этим спектральную плотность Suu(w ) называют еще спектральной плотностью мощности, а также энергетическим спектром стационарного случайного процесса, поскольку Suu(w ) имеет размерность энергии.

Спектральная плотность мощности случайного процесса является средней характеристикой множества реализаций. Ее можно получить и путем усреднения спектральной мощности реализации Сk(щ) (1.62) по множеству реализаций.

Рассмотрим с этой целью одну реализацию u(t) стационарного случайного процесса U(t) сначала на ограниченном интервале времени - T<t<. T. Для нее можно записать преобразование Фурье:

В соответствии с (1.63) спектральная плотность мощности этой реализации

Найдем среднее значение С(щ) по множеству реализации k. Имеем

или

Так как мы предполагаем, что случайный процесс U(t) стационарный, то

где t1 - t2 = ф.

При выполнении условия (1.114) для выражения (1.113) существует предел при T:

что и требовалось показать.

Пример 1.7 У центрированного стационарного случайного процесса спектральная плотность постоянна. Рассмотреть особенности такого процесса.

Пусть спектральная плотность Suu(щ) ограничена определенной полосой частот (рис.1.16, а):

В соответствии с (1.107) найдем автокорреляционную функцию процесса U(t):

Вид функции Ru(t ) приведен на рис.1.16,6. Значение ее при ф = 0 равно дисперсии, а следовательно, средней мощности рассматриваемого процесса:

Будем теперь расширять полосу частот, занимаемую энергетическим спектром (рис.1.17, а). Интервал времени, на котором наблюдается существенная корреляционная связь значений процесса, при этом уменьшается, а дисперсия Du возрастает.

При w 0 дисперсия становится безграничной, а корреляционная функция принимает вид дельта-функции (рис.1.17,6).

Идеализированный случайный процесс, энергетический спектр которого безграничен и равномерен, известен как "белый шум". Такое название возникло по аналогии с белым светом, имеющим равномерный и неограниченный спектр интенсивности. Основная особенность процесса в том, что его значения в любые два сколь угодно близкие моменты времени некоррелированы. Создать белый шум принципиально невозможно, так как реальные источники сигналов всегда имеют ограниченную мощность. Тем не менее, понятие "белый шум" нашло широкое применение в информационной технике. Такая модель может быть принята, например, для сигналов (шумов), имеющих равномерный энергетический спектр в пределах полосы пропускания входного блока системы, в которой они рассматриваются.

Иногда говорят о "реальном белом шуме", подразумевая стационарный случайный процесс с равномерным энергетическим спектром в пределах конечной, но достаточно широкой полосы частот.

Пример 1.8 Определить спектральную плотность мощности случайного процесса с линейно убывающей нормированной функцией автокорреляции (рис.1.18).

Аналитическое выражение нормированной корреляционной функции запишем в виде

Воспользовавшись соотношением (1.105) при р„ (0) = 1, получим

Раскрывая по правилу Лопиталя неопределенность выражения (1.119) при щ = 0, найдем

Несложный дополнительный анализ дает возможность определить форму кривой Suu(w ) (рис.1. 19).


Знаете ли Вы, что, как и всякая идолопоклонническая религия, релятивизм ложен в своей основе. Он противоречит фактам. Среди них такие:

1. Электромагнитная волна (в религиозной терминологии релятивизма - "свет") имеет строго постоянную скорость 300 тыс.км/с, абсурдно не отсчитываемую ни от чего. Реально ЭМ-волны имеют разную скорость в веществе (например, ~200 тыс км/с в стекле и ~3 млн. км/с в поверхностных слоях металлов, разную скорость в эфире (см. статью "Температура эфира и красные смещения"), разную скорость для разных частот (см. статью "О скорости ЭМ-волн")

2. В релятивизме "свет" есть мифическое явление само по себе, а не физическая волна, являющаяся волнением определенной физической среды. Релятивистский "свет" - это волнение ничего в ничем. У него нет среды-носителя колебаний.

3. В релятивизме возможны манипуляции со временем (замедление), поэтому там нарушаются основополагающие для любой науки принцип причинности и принцип строгой логичности. В релятивизме при скорости света время останавливается (поэтому в нем абсурдно говорить о частоте фотона). В релятивизме возможны такие насилия над разумом, как утверждение о взаимном превышении возраста близнецов, движущихся с субсветовой скоростью, и прочие издевательства над логикой, присущие любой религии.

4. В гравитационном релятивизме (ОТО) вопреки наблюдаемым фактам утверждается об угловом отклонении ЭМ-волн в пустом пространстве под действием гравитации. Однако астрономам известно, что свет от затменных двойных звезд не подвержен такому отклонению, а те "подтверждающие теорию Эйнштейна факты", которые якобы наблюдались А. Эддингтоном в 1919 году в отношении Солнца, являются фальсификацией. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution