Nicht im Handel
Sonderabdruck aus Vol. II, 1956, Fase. 1ASTRONAUTICA ACTA
Herausgegeben von W. v. Braun, A. Ettla, J. M. J. Kooy, E. Sдnger, K. Schьtte, L. R. Shepherd und J. Stemmer
Schriftleitung: F. Hecht, Wien
Springer-Verlag in Wien Alle Rechte vorbehalten
Relativistische Zeitdiiatation eines kьnstlichen Satelliten
Von
F. Winterberg1, GfW
(Eingelangt am 10. August 1955)
Zusammenfassung. Bei Berьcksichtigung der Relativitдtstheorie treten meЯbare Zusatzglieder zum Doppler-Effekt auf, die in unmittelbarem Zusammenhang mit der einsteinischen Zeitdilatation stehen. Beim vorliegenden Problem darf jedoch nicht die spezielle Relativitдtstheorie, sondern muЯ entsprechend dem Vorhandensein von Gravitationsfeldern die .allgemeine Relativitдtstheorie zugrunde gelegt werden. Die Ьberlegungen, die fьr den Doppler-Effekt maЯgebend sind, ьbertragen sich dabei sinngemдЯ auf Uhren auf dem Satelliten und auf der Erde, deren Gang verglichen wird. Die Messung der Abweichung des Uhrenganges und damit die Messung der Zeitdilatation wird ermцglicht durch Vergleich zweier mit Molekьlresonanzlinien gesteuerter Quarzuhren (sog. Atomuhren) auf dem kьnstlichen Satelliten und auf der Erdoberflдche. Es zeigt sich dabei, daЯ die auf einem kьnstlichen Satelliten befindliche Uhr gegenьber einer auf der Erdoberflдche aufgestellten im Laufe eines Jahres nm einige tausendstel Sekunden und damit um einen meЯbaren Betrag nachgeht.
Abstract. Considering the theory of relativity there come forth measurable supplement limbs of the Doppler effect which are closely connected with Einstein's dilatation of time. In the problem at hand the basic element is not the Special Theory of Relativity but, according to the existence of fields of gravitation, it is the General Theory of Relativity. The considerations which are competent for the Doppler-effect are transferred logically to clocks on the satellite and on the earth, the motion of which is compared. The measuring of the divergence of the motion of the clock and thus the measuring of the time dilatation is made possible through comparison of two quartz-clocks (so-called atomic clocks) with molecule resonance lines on the artificial satellite and on the surface of the earth. Thereby it shows that the clock on the artificial satellite compared with a clock placed on the surface of the earth, in the course of a year will lose several thousandths of a second, that is, a measurable amount.
Eesume. La theorie de la relativite introduit dans l'effet Doppler des tennes additionnels mesurables qui sont en relation avec la dilatation du temps. En raison de la presence d'un champ de gravitation il faut appliquer la theorie de la relativite generalisee. Les considerations pertinentes д l'effet Doppler s'appliquent aussi bien д la mesure du temps д la surface d'un satellite et д la surface de la terre. En utilisant des horloges д quartz, asservies д une frequence de resonance moleculaire, le faible ecart que presente la comparaison pourrait etre decele. Le calcul montre en effet que sur une periode d' un an l'horloge du satellite artificiel doit retarder de quelques milliemes de secondes.
I. Einleitung
Aus der elementaren Theorie des Doppler-Effekts ergibt sich, bekanntlich eine Frequenzдnderung der Strahlung eines relativ zu einem ruhenden Beobachter bewegten Senders, wobei die Frequenzдnderung proportional dem Verhдltnis v/c ist. Dabei ist v die Komponente der Geschwindigkeit des Senders in ^Richtung auf den Beobachter hin und c die Lichtgeschwindigkeit.
Die relativistische Behandlung des Doppler-Effekts fьhrt neben diesem sogenannten longitudinalen Doppler-Effekt noch auf den transversalen Doppler-Effekt, der in erster Nдherung proportional (v/c)2 ist, wobei v aber jetzt der Absolutbetrag der Geschwindigkeit sein soll. Dieser sogenannte transversale Doppler-Effekt hдngt eng mit der einsteinschen Zeitdilatation zusammen und ist von der Bewegungsrichtung des Senders relativ zum Beobachter unabhдngig. Die Ьberlegungen, die fьr den Doppler-Effekt maЯgebend sind, ьbertragen sich auf die Frage nach dem Gang von zwei Uhren im System des bewegten Senders und in demjenigen des Beobachters.
Setzen wir eine periodische Bewegung des Senders relativ zum Beobachter voraus, wie sie beim kьnstlichen Satelliten gegeben ist, so wird beim Vergleich des Ganges der Uhr auf dem Satelliten mit dem Gang der Uhr des Beobachters - der gewцhnliche Doppler-Effekt (longitudinaler Effekt) ein periodisch schwankendes Vor- und Nachgehen der Uhr des Satelliten gegenьber der Uhr des Beobachters bewirken. Anders beim transversalen Doppler-Effekt, der zu einem stetigen Anwachsen des Gangunterschiedes der auf dem' Satelliten befindlichen Uhr gegenьber der Uhr des Beobachters fьhren wird.
Zur Messung des hierbei auftretenden Gangunterschiedes sind gewцhnliche Quarzuhren noch zu ungenau und daher ungeeignet. Neuerdings sind aber Quarzuhren von unerhцrter Genauigkeit entwickelt worden, bei denen die Temperatur des Steuerquarzes mit einer Molekьlresonanzhnie geregelt wird. Diese sogenannten Atomuhren haben die Genauigkeit von 10-12 in ihrem Gang. Sie werden sich zur Nachprьfung des hier beschriebenen Effekts eignen.
In Verbindung mit dem Bau eines kьnstlichen Satelliten ergibt sich, damit eine neue Mцglichkeit zur Nachprьfung der allgemeinen Relativitдtstheorie,
H. Allgemeine Theorie des Doppler-Effekts von zwei in einem Gravitationsfeld sieh bewegenden Kцrpern
Die hier erlдuterte allgemeine Doppler-Fonnel findet sich in dem bekannten Buch von Tolman1.
Als Lцsung der einsteinschen Feldgleichungen der Gravitation ergibt sich .allgemein erne nichteuklidische Form des vierdimensionalen Linienelements
wobei ьber doppelt vorkommende griechische Indizes nach Vereinbarung zu summieren ist. Die Lage von Sender und Empfдnger sind Funktionen der Zeit, wobei dem Sender der Index 1 und dem Beobachter der Index 2 gegeben werde. "Weiters sei angenommen, daЯ zur Zeit t1 ein Signal den Sender verlдЯt und zur Zeit t2 den Beobachter erreicht. Zwischen beiden Zeiten besteht eine Abhдngigkeit . der Form
Durch Gl. (3) ist das Verhдltnis eines Zeitintervaus von zwei gleichen, im System des Senders und des Beobachters befindlichen Uhren festgelegt. HL Spezialisierung auf ein zentralsymmetriselies Gravitationsfeld Gl. (3) soll nun auf den Fall eines zentralsymrn.etrischen Gravitationsfeldes angewandt werden, wie er bei einem im Erdkraftfeld sich bewegenden Satelliten vorliegt. Die Lцsung der Feldgleichnngen ist dabei durch das schwakzschildsche Linienelement gegeben, das in sphдrischen Polarkoordinaten lautet:
ist, mit der Abkьrzung a = G M/c2, wo G die Gravitationskonstante, M die Erdmasse und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Zur Aufstellung der Abhдngigkeit (2) setzen wir
dabei ist s der Abstand des Satelliten vom Beobachter zur Zeit i1. Gl. (6) gilt nдherungsweise, wenn die Geschwindigkeit des Satelliten relativ zum Beobachter klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist. Zur Berechnung von s setzen wir auЯerdem gr = 1, was einer Vernachlдssigung der Raumkrьmmung gleich kommt.
Wir erhalten zunдchst an Stelle von Gl. (3):
Die rechte Seite von Gl. (7) setzt sich aus einem periodischen, mit P(i1) multiplizierten, und aus einem „sдkularen", linear mit der Zeit anwachsenden Teil . zusammen.
Im folgenden werden wir uns auf den sдkularen Anteil beschrдnken, da er allein AnlaЯ zu einer relativistischen Zeitdilatation gibt, die sich nicht wie beim periodischen Teil im Zeitmittel heraushebt.
IV. Spezialisierung auf eine Kreisbahn
Um die Verhдltnisse an einem einfachen Beispiel zu studieren, legen wir jetzt die Annahme einer Kreisbahn des kьnstlichen Satelliten zugrunde. Die Ьberlegungen lassen sich unschwer auf elliptische Bahnen erweitern.
Wir wollen annehmen, daЯ der Satellit sich mit dem Neigungswinkel * gegen die Дquatorebene bewegt. Um das vierdimensionale Linienelement des Satelliten zu berechnen, benьtzen wir die Invarianz von дs in Beziehung auf rдumliche Drehungen und berechnen ds im Bezugssystem, das die Bahnebene als Grundebene hat. Unter diesen Voraussetzungen wird:
Fьr den Beobachter auf der Erde legen wir das дquatoriale Polarkoordinaten-system zugrunde. Dabei ist zu berьcksichtigen, daЯ
Der letzte Term auf der rechten Seite von (12 a) beschreibt den EinfluЯ der relativ zum Satelliten erfolgenden Erdrotation auf die Zeitdilatation. Dieser Beitrag ist gegenьber den anderen Beitrдgen von untergeordneter Bedeutung. Vernachlдssigen wir der Einfachheit halber diesen Term, so zeigt sich das interessante Resultat, daЯ die Zeitdilatation fьr die durch die Bedingung
gegebene Hцhe der Kreisbahn ьber der Erdoberflдche verschwindet.. Aus (13) folgt dafьr: .
Da der Erdradius r2 = 6400 km betrдgt, folgt fьr die Hцhe der Kreisbahn h = r1 - r2 = 3200 km. Dieses Resultat ist deshalb bemerkenswert, weil ohne. Berьcksichtigung der allgemeinen Relativitдtstheorie sich dies nicht ergeben hдtte. Wir wollen die Betrachtungen mit einem numerischen Beispiel beschlieЯen, indem wir annehmen, daЯ der Beobachter auf der Erdoberflдche sich auf dem Nordpol befindet. In diesem Fall verschwindet das von der Erdrotation herrьhrende Glied. Weiter soll der Satellit in einer Hцhe von 1650 km die Erde umkreisen. Damit ergibt sich:
Im Laufe.eines Jahres geht daher die auf dem Satelliten sich befindende Uhr gegenьber der auf der Erde befindlichen um 4,2 10-3 sec nach. Um den skizzierten Effekt reproduzierbar zu machen, ist es erforderlich, ьber Uhren zu verfьgen, die mindestens mit einer Genauigkeit von 10-11 gehen. Dieser Forderung genьgen die eingangs erwдhnten Atomuhren. ' Sie erlauben den vorausgesagten Effekt auf zwei Dezimalen genau zu bestimmen.
Auf den hier hingewiesenen Effekt begrьndet sich eine neue eindrucksvolle Mцglichkeit zur Ьberprьfung der allgemeinen Relativitдtstheorie.
1 Stuttgart, FrauenkopfstraЯe 3, Bundesrepublik Deutschland..
Printed in Austria
|
|
 |
