CAD томография ДМ экономическая информатика визуальные среды - 4GL Теория и практика обработки информации

Метод Гаусса — Йордана

Метод Гаусса — Йордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Карла Фридриха Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Алгоритм

Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
После повторения этой процедуры $n-1$ раз получают верхнюю треугольную матрицу
Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицы

Пусть дано:
Дано 1.png

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

Разделим первую строку матрицы А на получим: , j — столбец матрицы А.
Повторяем действия для матрицы I, по формуле: , s — столбец матрицы I

Получим:
Результ1из.PNG

Будем образовывать 0 в первом столбце :
Повторяем действия для матрицы І, по формулам :

Получим:
Результ2из.PNG

продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы :

при условии, что

Повторяем действия для матрицы І, по формулам :

при условии, что
Получим :
Результ4.PNG

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

Используем формулу: , при условии, что
Повторяем действия для матрицы І, по формуле : , при условии, что
Окончательно получаем :
Результостат.PNG

Пример

Для решения следующей системы уравнений:

$\left\{\begin{array}{ccccccl} a &+& b &+& c &=& 0\\ 4a &+& 2b &+& c &=& 1\\ 9a &+& 3b &+& c &=& 3 \end{array}\right.$

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \!& \vline &\! 0 \\ 4 & 2 & 1 \!& \vline &\! 1 \\ 9 & 3 & 1 \!& \vline &\! 3 \end{pmatrix}$

Проведём следующие действия:

К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

$\begin{pmatrix} 1 &\ 1 &\ 1 \!& \vline &\! 0 \\ 0 & -2 & -3 \!& \vline &\! 1 \\ 0 & -6 & -8 \!& \vline &\! 3 \end{pmatrix}$

К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
Строку 2 делим на −2

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \!& \vline &\!\ 0 \\ 0 & 1 & {3 \over 2} \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\ 0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0 \end{pmatrix}$

К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \!& \vline &\!\ 0 \\ 0 & 1 & 0 \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\ 0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0 \end{pmatrix}$

К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \!& \vline &\!\ {1 \over 2} \\ 0 & 1 & 0 \!& \vline &\! -{1 \over 2} \\ 0 & 0 & 1 \!& \vline &\!\ 0 \end{pmatrix}$

В правом столбце получаем решение:

$a = \frac{1}{2} \; ; \ b = -\frac{1}{2} \; ; \ c = 0$ .

Литература

Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. «Schaum’s Outlines: Linear Algebra». Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.

CAD томография ДМ экономическая информатика визуальные среды - 4GL Теория и практика обработки информации

Знаете ли Вы, что дескриптивные модели - это модели, целью которых является формализованное представление знания о структуре моделируемого объекта.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира