оглавление ДМ экономическая информатика визуальные среды - 4GL Теория и практика обработки информации

Теория особенностей Уитни

В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу <Об отображениях плоскости на плоскость>, заложившую основу новой математической теории - теории особенностей гладких отображений.

Отображение поверхности на плоскость - это сопо-ставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами (xlt х2) на поверхности, а точка плоскости координатами (yv у2) на плоскости, то отображение задается парой функций г/х = = /? хг), у2 = /2 (#1, х2). Отображение называется глад-кии, если эти функции гладкие (т. е. дифференцируемые достаточное число раз, например многочлены).

Отображения гладких поверхностей на плоскость ок-ружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностя-ми. Видимые контуры тел - это проекции ограничиваю-щих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.

Уитни заметил, что в случаях <общего положения> ) встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

, Примером особенности первого вида - она названа складкой Уитни - является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображение

Рис. 2. Сборка проектиро-вания поверхности на плос-кость

задается формулами у1 = х, у2 = х2. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего уди-вительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особен-ность, но практически никогда ее не замечаем.

Эта вторая особенность названа сборкой Уитни, и по-лучается она при проектировании на плоскость поверх-ности, изображенной на рис. 2. Эта поверхность задана формулой у1 - х + хгхг в пространстве с координа-тами (#!, хг, У?) и проектируется на горизонтальную плоскость (х2, г/х).

Таким образом, отображение задается в локальных координатах формулами уг - х + ^А> у2 = жа.

На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части; меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проекти-руется три точки поверхности), точки большей части - лишь но одному, точки кривой - по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сли-ваются и исчезают (в этом месте особенность - складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза.

Уитни доказал, что сборка устойчива, т. е. всякое близкое отображение имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность (т. е. такую особенность, что продеформированное отображение в подходящих коор-динатах в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими записывалось исходное отоб-ражение в окрестности исходной точки). Уитни также доказалг что всякая особенность гладкого отображения поверхности на плоскость после подходящего малого ше-веления рассыпается на складки и сборки.

Рис. 3. Видимый контур тора

Таким образом, видимые контуры гладких тел общего положения имеют точки возврата в местах, где проекти-рования имеют сборки и не имеют других особенностей: приглядевшись, мы можем найти эти точки возврата в чер-тах каждого лица или тела. Рассмотрим, например, по-верхность гладкого тора (скажем, надутой шины). Тор обычно рисуют так, как это изображено на рис. 3. Если

бы тор был прозрачным, мы увидели бы видимый контур, изображенный на рис. 4: соответствующее отображение тора на плоскость имеет четыре сборки. Таким образом, концы линии видимого контура на рис. 3 - это точки возврата, в этих точках линия видимого контура имеет полукубическую особенность>

Прозрачный тор редко где увидишь. Рассмотрим дру-гое прозрачное тело - бутылку (предпочтительно из-под молока). На рис. 5 видны две точки сборки. Покачивая бутылку, мы можем убедиться, что сборка устойчива.

Тем самым мы получаем убедительное экспериментальное подтверждение теоремы Уитни.

После основополагающей работы Уитни теория осо-бенностей бурно развивалась, и сейчас это одна из цент-ральных областей математики, в которой перекрещи-ваются пути, связывающие самые абстрактные разделы математики (дифференциальную и алгебраическую геомет-рию и топологию, теорию групп, порожденных отраже-ниями, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств и т. д.) с самыми прикладными (теория устой-чивости движения динамических систем, теория бифур-каций положений равновесия, геометрическая и волно-вая оптика и т. д.). К. Зиман предложил называть сово-купность теории особенностей и ее приложений теорией катастроф.

оглавление ДМ экономическая информатика визуальные среды - 4GL Теория и практика обработки информации

Знаете ли Вы, что неограниченность целевой функции - это ситуация, при которой множество допустимых значений переменных задачи математического программирования содержит значения, доставляющие сколь угодно большое значение целевой функции. Если имеет место неограниченность целевой функции, оптимального решения задачи не существует.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира