Число обусловленности квадратной матрицы

Еще одной важной характеристикой матрицы является ее число обусловленности (condition питэег). Число обусловленности является мерой чувствительности систелы линейных уравнений Ах=b, определяемой матрицей А, к погрешностям задания вектора b правых частей уравнений. Чем больше число обусловленности, тем сильнее это воздействие и тем более неустойчив процесс нахождения решения. Число обусловленности связано с нормой матрицы и вычисляется по-разному для каждой из норм;

• cond1(A) — число обусловленности в норме L1;
• cond2 (A) — число обусловленности в норме L2;
• conde(A) — число обусловленности в евклидовой норме;
• condi (A) — число обусловленности в норме;
• А — квадратная магрица.

Расчет чисел обусловленности для двух матриц А и В показан в листинге 9.31. Обратите взимание, что первая из матриц является хорошо обусловленной, а вторая - плохо обусловленной (две ее строки определяют очень близкие системы уравнений, с точностью до множителя з). Вторая строка листинга дает формальное определение числа обусловленности как произведения норм исходной и обратной матриц. В других нормах определение точно такое же.

Как нетрудно понять, матрицы А и в из предыдущего листинга 9.30 обладают одинаковыми числами обусловленности, т, к. В=100А, и, следовательно, обе матрицы определяют одну и ту же систему уравнений.

Листинг 9.31. Чиса обусловленности матриц