Проверка второго закона Кеплера. Решение задачи Кеплера в пакете Mathcad

Для проверки второго закона Кеплера необходимо провести сравнение площади, заметаемой радиус-вектором за равные промежутки времени, используя значения кинематических характеристик движения тела в гравитационном поле, полученные численным решением системы ДУ (24), (25), возвращенные в матрицу Z. Напомним, что размерность матрицы Z, содержащей решения системы ДУ, -- N* 5; нумерация столбцов и строк матрицы начинается с нулевого значения; значения t,

содержатся соответственно в 0-ом, 1-ом, 2-ом, 3-ем, 4-ом столбцах матрицы.

Так как решение уравнений движения проводится на равномерной временной сетке, то для задания начального и конечного значений временного интервала, в течение которого вычисляется площадь сектора, заметаемого радиус-вектором, достаточно указать номер соответствующей строки матрицы Z и количество используемых точек (т.е. длину временного интервала).

При достаточно малом шаге интегрирования D t уравнений движения (определяемым количеством точек N, в которых ищется решение системы ДУ,

) площадь, заметаемая радиус вектором за время D t, примерно равна площади треугольника с вершинами в точках (0,0),

(рис. 8).

Для вычисления площади треугольника, у которого заданы координаты вершин, можно воспользоваться формулой Герона

где p - полупериметр треугольника, изображенного на рис. 8, a, b, c - длины его сторон:

Однако программа вычисления площади сектора, заметаемого радиус-вектором, получается более компактной, если использовать встроенную в пакет Mathcad функцию, вычисляющую векторное произведение трехмерных векторов. Как известно из аналитической геометрии, площадь треугольника, изображенного на рис. 8, равна

поэтому алгоритм вычисления площади сектора, заметаемого радиус-вектором, реализуется следующей последовательностью действий:

1. Задание начального момента времени и длины временного интервала.

2. Присвоение координатам вектора

соответствующих значений координат орбиты (

) в момент времени.

3. Присвоение координатам вектора

соответствующих значений координат орбиты (

) в момент времени .

4. Вычисление площади треугольника

, заметаемого радиус-вектором на временном интервале .

5. Нахождение площади, заметаемой радиус-вектором на временном интервале

, суммированием известной площади, заметаемой радиус-вектором на интервале

, и D S.

Для реализации этого алгоритма документ, описанный в предыдущем разделе, необходимо дополнить следующими строками.

1) Задание номера начальной точки, начиная с которой производится вычисление площади, заметаемой радиус-вектором

2) Задание количества точек, по которым вычисляется площадь, заметаемая радиус-вектором

3) Программа для вычисления площади, реализующая описанный выше алгоритм

Далее, задавая различные начальные значения номера начальной точки, можно убедиться в том, что значение переменной S с определенной точностью остается.

Представляет определенный интерес не только вычислить площадь сектора, заметаемого радиус-вектором, но и изобразить данный сектор на рисунке вместе с траекторией тела. Однако анализ этой задачи обнаруживает известную ограниченность графических возможностей Mathcad, который позволяет изображать на рисунках только функциональные зависимости. Средств, позволяющих нарисовать замкнутую фигуру произвольной формы и залить ее выбранным цветом, разработчики Mathcad, к сожалению, не предусмотрели. Однако выход из данной ситуации все-таки существует. Он состоит в том, чтобы последовательно нарисовать каждый из секторов, заметаемых радиус-вектором за время Dt. Для построения последовательности секторов необходимо сформировать двумерный массив S1, содержащий координаты вершин последовательных треугольников, аппроксимирующих сектор, заметаемый радиус вектором (рис. 9), и затем построить график зависимости, заданной в виде таблицы. Ниже мы приводим текст соответствующей программы, который следует добавить в ранее созданный документ.

Затем построить на одном чертеже орбиту, отметить фокус эллипса, и нарисовать сектор, заметаемый радиус-вектором (рис. 10).

Знаете ли Вы, что cогласно релятивистской мифологии "гравитационное линзирование - это физическое явление, связанное с отклонением лучей света в поле тяжести. Гравитационные линзы обясняют образование кратных изображений одного и того же астрономического объекта (квазаров, галактик), когда на луч зрения от источника к наблюдателю попадает другая галактика или скопление галактик (собственно линза). В некоторых изображениях происходит усиление яркости оригинального источника." (Релятивисты приводят примеры искажения изображений галактик в качестве подтверждения ОТО - воздействия гравитации на свет)
При этом они забывают, что поле действия эффекта ОТО - это малые углы вблизи поверхности звезд, где на самом деле этот эффект не наблюдается (затменные двойные). Разница в шкалах явлений реального искажения изображений галактик и мифического отклонения вблизи звезд - 10¹¹ раз. Приведу аналогию. Можно говорить о воздействии поверхностного натяжения на форму капель, но нельзя серьезно говорить о силе поверхностного натяжения, как о причине океанских приливов.
Эфирная физика находит ответ на наблюдаемое явление искажения изображений галактик. Это результат нагрева эфира вблизи галактик, изменения его плотности и, следовательно, изменения скорости света на галактических расстояниях вследствие преломления света в эфире различной плотности. Подтверждением термической природы искажения изображений галактик является прямая связь этого искажения с радиоизлучением пространства, то есть эфира в этом месте, смещение спектра CMB (космическое микроволновое излучение) в данном направлении в высокочастотную область. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.