Бриллюэна зона - ячейка обратной решетки кристалла, содержащая все трансляционно-неэквивалентные
точки. Поскольку состояния квазичастиц твёрдого тела, в к-рых значения
квазиимпульсов р отличаются на один из векторов трансляции обратной решётки,
являются эквивалентными, то В. з. выделяет в пространстве квазиимпульсов области,
включающие в себя все неэквивалентные значения квазиимпульсов р, характеризующих
состояние квазичастиц.
Рис. 1. Первые Бриллюэна зоны: а - для одномерного кристалла (цифрами обозначены номера зон Бриллюэна); б - для плоской квадратной кристаллической решетки; в - для плоской квадратной решётки в схеме приведённых зон; г - первые три Бриллюэна Зоны для кубического гранецентрированного кристалла (приведены обозначения для некоторых точек первой зоны); д - первые три Бриллюэна зоны для кубического объёмноцентрированного кристалла; е - первая Бриллюэна зона для гексагонального плотно упакованного кристалла.
Структура Бриллюэна зоны определяется
только строением кристалла и не зависит от рода частиц, образующих кристалл,
или от их межатомного взаимодействия. Обычно границы Бриллюэна зоны определяют условием:
где b - вектор обратной
решётки. При этом Бриллюэна зоны представляют собой многогранники в обратном пространстве,
границами к-рых являются плоскости, проходящие через середины прямых (перпендикулярно
к ним), соединяющих точку начала отсчёта Г (b=0) с трансляционно-эквивалентными
ей точками обратной решётки (рис. 1, а).
При таком построении участки
одной и той же зоны оказываются отделёнными друг от друга (рис. 1, б). Этой
особенности можно избежать при переходе к т. н. приведённой зоне - разл. участки
одной Бриллюэна зоны сдвигаются на векторы трансляции обратной решётки и зона оказывается
односвязной (рис. 1, в). В результате "приведения" очевидно,
что каждая зона совпадает с элементарной ячейкой обратной решётки (Вигнера
-Зейтца ячейкой), т. е. фактически с первой Бриллюэна зоны (объёмы всех Бриллюэна зон равны).
Осн. интерес представляет, как правило, первая Бриллюэна зона - область обратного пространства,
лежащая ближе к точке b=0, чем к любой другой трансляционно-эквивалентной
ей точке в обратной решётке. Нек-рые точки Бриллюэна зоны высокой симметрии имеют спец.
обозначения. Так, напр., для первой Бриллюэна зоны гранецентрированного кубического (ГЦК)
кристалла (рис. 1, г) центр обозначается как Г, вершины - W, центр
шестиугольной грани - L, центры квадратных граней - X и т. д.
(рис. 1, д-е).
Соотношения (1), определяющие
границы Бриллюэна зоны, эквивалентны Брэгга - Вулъфа условию для интерференционных
максимумов при рассеянии рентг. лучей в кристалле. Это позволяет восстановить
по рентгенограмме кристалла его Бриллюэна зона и тем самым структуру кристалла. В. з.
используются при определении закона дисперсии для квазичастиц в кристалле (электронов,
фононов, магнонов и пр.), поскольку энергия квазичастиц, согласно Блоха
теореме, является периодич. функцией квазиимпульса, т. е. периодична в обратной
решётке (см. Зонная теория).
При расчёте энергетич.
спектра квазичастиц (энергетич, зон) используются схемы приведённой зоны (все
энергетич. зоны, отделённые друг от друга энергетич. щелями, размещаются в первой
Бриллюэна зоны), схемы расширенной зоны (разл. энергетич. зоны размещаются в
обратном пространстве в разл. Бриллюэна зонах) и т. н. периодич. зонная схема (каждая энергетич.
зона периодически повторяется во всех Бриллюэна зонах). Эти три схемы проиллюстрированы
на рис. 2 на примере трёх первых энергетич. зон для одномерного кристалла,
Бриллюэна зоны к-рого приведены на рис. 1, а.
Рис. 2. Пример энергетического
спектра e(P)для квазичастицы в одномерном кристалле с Бриллюэна зоной,
показанной на рис. 1, а: а - схема приведённой зоны; б - схема расширенной зоны;
в - периодическая зонная схема.
Для фермиевских квазичастиц
в кристаллах, напр. электронов проводимости и дырок, важно относит. расположение
ферми-поверхности в
Бриллюэна зоне. При разл. взаимных конфигурациях возникают
понятия заполненных и незаполненных энергетич. зон, зоны проводимости, запрещённой
зоны, валентной зоны, открытых и замкнутых траекторий носителей заряда. В нек-рых
кристаллах близость ферми-поверхности к границе Бриллюэна зоны может приводить к структурным
фазовым переходам и образованию гетерофазных структур (напр., структурные 
переходы в сплавах).
А. Э. Мейерович
|
|
 |
