Плотность вероятности (плотность распределения вероятностей) случайной величины
Плотность вероятности (плотность распределения вероятностей) случайной величины X - функция р (х)такая, что
и при любых а <
b вероятность
события а < X < b равна
Если р(х)непрерывна, то при достаточно
малыхх вероятность
неравенства х < X < х +х приближённо
равна р(х)х (с
точностью до малых более высокого порядка). функция распределения
F(x)случайной величины X, имеющей плотность, связана с П. в. соотношениями
и, если F(x)дифференцируема,
Случайные величины, имеющие П. в., наз.
непрерывно распределёнными случайными величинами, а их распределения -
непрерывными (точнее, абсолютно непрерывными) распределениями.
Момент МХrлюбого порядка
r таких случайных величин X вычисляют по ф-ле
если интегралы абсолютно сходятся.
Аналогично определяют совместную П. в.
нескольких случайных величин Х1, ..., Хп(П.
в. совместного распределения):
и для любых ai < bi,
i = 1,...., n вероятность одновременного выполнения неравенств
a1 < X1 < b1,....aп
< Xn < bп равна
Если существует совместная П. в. случайных
величин Xl, ..., Хп, то для независимости
этих величин необходимо и достаточно, чтобы совместная П. в. была произведением
П. в. отд. величин, т. е.
p(x1,...,xn)=
p1(x1). . . pn(xn),
где pi - П. в. величины
Хi. По совместной П. в. случайных величин можно найти
распределение вероятностей любых функций от этих величин: так, напр., для
двух независимых случайных величин с П. в. d1(x)и
p2(х)П. в. их суммы задаётся ф-лой свёртки
х вероятность
неравенства х < X < х +
х приближённо
равна р(х)
х (с
точностью до малых более высокого порядка). функция распределения
F(x)случайной величины X, имеющей плотность, связана с П. в. соотношениями
