Фазовая траектория в фазовом пространстве, составленная из точек, представляющих состояние динамической
системы в последоват. моменты времени в течение всего времени эволюции.
Динамич. система задаётся
с помощью закона, позволяющего установить состояние системы в произвольный (допустимый)
момент времени t>0, если известно её состояние в нач. момент t
= 0. Это означает, что задаётся набор фазовых переменных x={xi,
i=1, 2, ..., n} и эволюционный оператор Tt,
преобразующий состояние х0 = х(t =0)в состояние
x(t):
Оператор Тt удовлетворяет групповому свойству
и задаёт однопараметрич.
группу преобразований
фазового пространства на себя (параметром группы является время t). Группа
преобразований фазового пространства, задаваемая оператором Тt, наз. ф а з о в ы м п о т о к о м. Ф.т. являются орбитами этой группы. Фактически
Ф. т. образуется в результате движения фазовой точки x(t)в фазовом пространстве
под действием фазового потока. Кривая, начинающаяся в нек-рой нач. точке х0
и образованная по закону (1), является, вообще говоря, лишь частью Ф. т.
Для получения полной Ф.т. необходимо максимально продолжить кривую (1) не только
в область t>0, но и в область t<0.
Ф.т. могут представлять
собой: 1) отдельные точки; 2) замкнутые кривые; 3) отрезки кривых конечной длины,
заключённые между двумя точками (последние могут принадлежать или не принадлежать
траектории); 4) кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, яв-
ляющиеся точками, наз. о с о б ы м и т о ч к а м и. Они от- вечают стационарным
состояниям динамич. системы и яв- ляются неподвижными точками оператора 
Если Ф. т. целиком находится в конечной области фазового пространства, то
говорят, что она отвечает ф и н и тн о м у д в и ж е н и ю системы. В противном
случае траек-тория представляет и н ф и н и т н о е д в и ж е н и е.
Часто динамич. систему
с конечномерным фазовым пространством задают с помощью автономной системы обыкновенных
дифференц. ур-ний
где 
Если в нек-рой области фазового пространства функции Fi(X)непрерывно
дифференцируемы, то в этой области различные Ф.т не
пересекаются (в силу теоремы единственности решения системы обыкновенных дифференц.
ур-ний; см. Коши задача).
Если функции Fi(x)в (2) недифференцируемы где-либо, то Ф.т. могут пересекаться. Напр., динамич.
система, задаваемая ур-нием
имеет две траектории при
Первая отвечает стационарному
состоянию, вторая - ин-финитному движению. Эти две Ф. т. пересекаются в точке
x = 0. Неединственность решения обусловлена недифференцируемостью
при х = 0 правой части ур-ния (3).
Время движения системы
вдоль Ф. т., начинающегося с какой-либо нач. фазовой точки, может быть как бесконечным,
так и конечным. Последнее имеет место, напр., в системе
Действительно, из (5) следует
так что
движение инфинитно, но время эволюции конечно при любых конечных значениях х0
и составляет
Пусть в фазовом пространстве
динамич. системы имеются стационарная точкам к--л. траектории, идущие в эту
точку. Пусть также система - гладкая в окрестности особой точки. Тогда время
достижения этой точки вдоль любой траектории, не совпадающей с ней, бесконечно.
Поэтому стационарные состояния отделены от прочих траекторий.
См. также Динамическая система, Фазовое пространство, Устойчивость движения, Статистическая физика.
Н. А. Кириченко
|
|
 |
