Фурье-оптика - раздел оптики, в к-ром преобразование световых полей оптич. системами исследуется с
помощью фурье-анализа (спектрального разложения) и теории линейной фильтрации.
Начало использования в оптике идей спектрального разложения связано с именами
Дж. Рэлея (J. Rayleigh) и Э. Аббе (Е. Abbe). Первые работы, к-рые легли в основу
совр. Ф--о., принадлежат Мандельштаму [1], Горелику [2], Рытову [3]. В последней
проводится аналогия между задачами радиоэлектроники и теории связи, с одной
стороны (в к-рых речь идёт о преобразовании сигналов-функций времени-изменяющихся
токов, напряжений и т. д. и о системах радиоэлектроники, регистрирующих эти
преобразования), и задачами оптики- с другой, в к-рых рассматривается преобразование
световых полей-функций координат-оптич. системами.
Общность методов исследования
систем, служащих для преобразования сигналов - функций времени (временных фильтров),
и оптич. систем, служащих для преобразования световых полей - функций координат
(пространств. фильтров), обусловлена общностью закономерностей, управляющих
процессами в системах радиоэлектроники и оптики, общностью, заложенной в универсальности
максвеллов-ских ур-ний электродинамики. И тем и другим системам присущи (в достаточно
широкой области применений) такие фундаментальные свойства, как линейность и
инвариантность. Это позволяет удобно и просто описывать их поведение единым
образом, используя универсальный аппарат теории линейной фильтрации и преобразования
Фурье.
Основные понятия и соотношения
Ф--о. В радиоэлектронике систему, преобразующую сигналы, принято изображать
в виде схемы (рис. 1, а), где внеш. воздействие f(t) есть
входной сигнал фильтра, а результат этого воздействия g(t) - выходной
сигнал (или отклик) фильтра. Примером временного фильтра является колебат. контур
(рис. 1, б), в к-ром внеш. эдс - входной сигнал, а возникающие
изменения напряжения на обкладках конденсатора- отклик фильтра. Тот факт, что
функция g(t)является откликом на входное воздействие f(t),
записывают в виде операторного равенства
Волновые (в частности,
оптические) явления характеризуются как временной зависимостью, так и пространственной,
т. е. зависимостью от координат. В Ф--о. интерес представляет именно пространств.
структура волны, к-рая описывается (в случае гармонич. волн фиксированной частоты
w) комплексной амплитудой волны f(x, у, z), являющейся решением ур-ния
Гельмгольца:
(k = w/c- волновое
число). [Комплексная амплитуда, определяющая распределение амплитуд и фаз колебаний
является входным и выходным сигналом когерентной оптич. системы. При некогерентном
освещении говорят о картинах интенсивности (а не об амплитудах) во входной и
выходной плоскостях.]
В процессе распространения
волны через оптич. систему её пространств. структура изменяется. Такая система
рассматривается как пространственный фильтр, преобразующий входной сигнал (комплексную
амплитуду волны во входной плоскости оптич. системы) в выходной сигнал (комплексную
амплитуду волны в выходной плоскости оптич. системы). На рис. 2 представлена
схема пространств. фильтра (а)и пример простейшей оптич. системы (б), где f(x, у) - комплексная амплитуда волны во входной
плоскости П0, g(x, у) - комплексная амплитуда в выходной плоскости
П1. Соответствующее операторное равенство имеет вид
В радиоэлектронике свойства
линейного фильтра характеризуются импульсным откликом h(t, t)
- откликом фильтра на входной d-импульс:
Здесь h(t, t) -
функция времени t, параметр t указывает, что речь идёт об отклике на d-импульс,
возникающий на входе в момент времени t = t.
Аналогом d-импульса, возбуждающего
колебания в линейном фильтре, в задачах пространств. фильтрации является точечный
источник света d(x -x, у - h), расположенный в точке x
= x, у = h входной плоскости ху. При этом в выходной плоскости
возникает нек-рое световое поле с комплексной амплитудой h(x, у; x, h), являющейся функцией координат х, у в выходной плоскости. Поле
h(x, у; x, h) наз. ф у н к ц и е й р а с с е я н и я т о ч к и
и является аналогом импульсного отклика линейного временного фильтра.
Временные фильтры подчиняются
принципу причинности: сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше входного
сигнала, импульсный отклик h(t, t) отличен от нуля лишь при t>=t.
Различие в физ. смысле переменных (времени t и координат х, у)приводит
к важному различию временных и пространств. фильтров: принцип причинности в
задачах пространств. фильтрации не выполняется: точечный источник света, расположенный
в начале координат х = 0, у = 0 входной плоскости, приводит
к возникновению светового поля в выходной плоскости как при х,у>0, так и при х,у<0.
Если изменение момента
появления d-импульса на входе не меняет вид функции импульсного отклика, а лишь
сдвигает её во времени h(t, t) = h(t - t), то временной фильтр
наз. с т а ц и о н а р н ы м. Примером является колебат. контур с постоянными,
не зависящими от времени параметрами L, С, R.
Аналогичное свойство пространств.
фильтра наз. и з о-п л а н а т и ч н о с т ь ю: сдвиг точечного источника во
входной плоскости приводит лишь к сдвигу функции рассеяния в выходной плоскости:
Как правило, изопланатичность
оптич. систем выполняется лишь при малых значениях параметров x, h. Стационарный
временной фильтр, а также изопланатичный пространств. фильтр наз. и н в а р
и а н т н ы м и ф и л ь т р а м и.
Если известен импульсный
отклик временного линейного фильтра, то задача фильтрации (нахождение отклика
по заданному входному сигналу) решается с помощью интеграла суперпозиции:
Аналогично решается задача
пространственной фильтрации- нахождение комплексной амплитуды волны в
выходной плоскости по заданному полю во входной плоскости:
Если речь идёт об инвариантных
фильтрах, то вместо (2) и (3) имеем
Интегральная операция в
(4) или (5)наз. свёрткой функций f(t) и h(t)в (4) или
д в у м е р н о й свёрткой функций f(x, у)и п(х, у)в (5). Символически
операции свёртки (4) и (5) записываются в виде
Инвариантность линейных
фильтров позволяет перейти к спектральному описанию. Используя известную теорему
фурье-анализа о фурье-образе свёртки, связь между спектрами (фурье-преобразованиями)
входного и выходного сигналов можно записать в виде
где 
-частотная характеристика временного фильтра, а Н(и, u) - частотная
характеристика пространств. фильтра, являющаяся фурье-преобразова-нием функции
рассеяния точки:
Одно из важнейших преимуществ
спектрального подхода- простота операции, связывающей спектры сигналов на входе
и выходе фильтра. Представление сигнала f(t) в виде интеграла
Фурье
имеет ясный физ. смысл:
равенство (9) утверждает, что сигнал f(t)может быть представлен суммой
гармонич. колебаний, причём спектр F(w) = A(w)ехр ij(w)
определяет вклады гармоник разл. частот - их амплитуды A(w) и нач. фазы
j(w).
Гармонич. колебания ехр
iwt имеют особое значение в задачах линейной фильтрации: при возбуждении
ими линейного стационарного фильтра в последнем возникают вынужденные гармонич.
колебания той же частоты w. Др. словами, гармонич. функции ехр iwt
являются собств. функци-ями линейной стационарной системы. Это можно записать
в виде операторного равенства
где H(w) = В(w)ехр
ia(w)-частотная характеристика фильтра, определяющая амплитуду В (w)
и сдвиг по фазе a(w) вынужденных колебаний относительно внеш. воздействия.
Пространственное фурье-разложение. Комплексную амплитуду волны f(х, у)можно представить в виде
интеграла Фурье [двумерный аналог ф-лы (9)]:
Физ. смысл разложения (11)
состоит в следующем. Можно проверить, что функция
является решением ур-ния
Гельмгольца (1), удовлетворяющего на плоскости z = 0 граничному условию
Это утверждение справедливо
при любых значениях параметров и, u. функция (12) есть комплексная
амплитуда плоской волны, причём параметры и, u - проекции волнового
вектора k этой волны на оси х, у, если |u2
+ u2|<= <=(w/c)2 = k2. Если же |u2 + u2|>k2, выражение (12) также является решением (1) и наз. н е о д н о р о д н о
й в о л н о й (амплитуда волны спадает с ростом z экспоненциально, поскольку
-в этом
случае мнимое число).
Т. о., выражение (11) есть
представление произвольной волны, заданной в нек-рой плоскости z = const, в
виде суперпозиции плоских волн, как бегущих, так и неоднородных.
Плоская волна ехр[i(ux
+ uy)] в задачах пространств. фильтрации является аналогом гармонич.
колебания ехр iwt. Поэтому пару чисел и, u наз.
пространственными частотами.
Частотная характеристика
свободного пространства. Участок свободного пространства между двумя плоскостями
z = 0 и z = const > 0 (рис. 3) является простейшим пространств. фильтром.
Согласно (12) и (13), распространение плоской волны между двумя плоскостями
приводит лишь к появлению множителя ехр [i
], определяющего
набег фазы волны (при |u2 + u2|<=k2)или экспо-ненц. уменьшение амплитуды (при |u2 + u2|>k2). Это утверждение можно записать в виде операторного равенства:
где Н(и, u) = ехр(i
) - частотная характеристика свободного пространства. Экспоненц. функции ехр[i(ux+uy)]
при любых (и, u)являются, согласно (14), собственными функциями
пространств. фильтра.
Пространственная модуляция. В радиоэлектронике модуляция сигнала записывается как операция перемножения
модулируемого колебания f(t) и модулирующего сигнала m(t), в результате к-рой на выходе модулятора имеем модулированный сигнал g(t)=f(t)m(t). Различают два вида модуляции: амплитудную, когда m(t) - действительная
положит. функция a(t), и фазовую: m(t) = ехр ij(t).
Если несущее (модулируемое) колебание - гармонич. функция f(t) =
= ехр iwt, то в первом случае на выходе имеем амплитуд-но-модулированное
колебание g(t) = a(t)exp iwt, а во
втором- колебание, модулированное по фазе g(t) = = ехр{i[wt+j(t)]}.
Операцию модуляции изображают символически с помощью блок-схемы (рис. 4, а).
Пространств. модуляция
осуществляется в оптике с помощью тонких пластинок-транспарантов,- обладающих
в разных точках разл. поглощательной способностью и (или) показателем преломления.
При освещении пластинки плоской волной expi(ux + uy)это приводит
к тому, что амплитуда волны на выходе из пластинки оказывается различной в разных
точках (в соответствии с изменением поглощат. способности), т. е. имеем амплитудную
модуляцию волны:
Если пластинка имеет различный
в разных точках показатель преломления п(х,у)[или толщину h(x,y)], то набег фазы волны при прохождении пластинки оказывается в разных местах
различным: j(х, y) = kn(x,y)h(x,у) - получается фазовая модуляция:
В общем случае с помощью
транспаранта осуществляется как амплитудная, так и фазовая пространств. модуляция.
функция m(x,y) = a(x,y)exp
ij(x,y), определяющая характер пространств. модуляции и связывающая
комплексную амплитуду волны на входе и выходе транспаранта g(x,y) = =
т (х, y)f(x, у), наз. функцией п р о п у с к а н и я (или модуляц. характеристикой)
транспаранта. Операция пространств. модуляции изображается с помощью блок-схемы,
изображённой на рис. 4(б). Для осуществления пространств. модуляции в
оптике используют различного вида маски, пластинки, амплитудные и фазовые решётки.
Преобразование Фурье,
осуществляемое линзой. Осн. элементом любого оптич. устройства является
линза. Идеальная безаберрационная линза осуществляет фазовую модуляцию вида
где f-фокусное расстояние
линзы. В оптике пространств. спектральное разложение тесно связано со свойством
линзы фокусировать параллельный пучок света: падающая на линзу плоская волна
expi(ux+uy)с пространств. частотой (и, u)фокусируется
линзой в точку фокальной плоскости с координатами x=fu/k и y=fu/k (рис. 5). Падающая на линзу произвольная волна с комплексной амплитудой
f(x,y)может быть представлена, согласно (11), суперпозицией плоских
волн разных направлений (т. е. разных пространств. частот и, u), и
каждая из плоских волн в этой суперпозиции фокусируется линзой в свою определ.
точку фокальной плоскости, создавая в ней световое поле с амплитудой, пропорциональной
амплитуде соответствующей волны, и с фазой, определяемой фазой соответствующей
волны, т. е. создавая в ней колебание, пропорциональное величине F(kx/f,
ky/f), где F(u, u) - преобразование Фурье функции f(х,
у). Т. о., световое поле, возникающее в фокальной плоскости линзы, представляет
собой пространств. спектральное разложение волны, падающей на линзу.
Теория Аббе формирования
изображения (принцип двойной дифракции). На рис. 5 в качестве примера оптич.
системы, формирующей изображение, приведена система, состоящая из двух линз
Л1 и Л2 с общей фокальной плоскостью Ф; входной плоскостью
П0 (где размещается предмет) служит передняя фокальная плоскость
линзы Л1, а выходной плоскостью, где возникает изображение,- задняя
фокальная плоскость линзы Л2 - плоскость Пt.
Формирование изображения
в оптич. системе, согласно теории Аббе,- двухэтапный процесс. Первый этап (первая
"дифракция")-это распространение света от входной плоскости до плоскости
Ф, где формируется пространств. спектр предметной волны. На этом этапе линза
Л1 осуществляет первое пространств. фурье-преобразова-ние.
Второй этап (вторая дифракция) - распространение света от плоскости Ф (к-рая
наз. фурье-плоскостью оптич. системы) до плоскости изображения. На этом этапе
линза Л2 осуществляет ещё одно преобразование Фурье. В результате
двух последоват. преобразований Фурье возникает перевёрнутое изображение-поле
с комплексной амплитудой g(x,y)=f(-x, -у), тождественное с точностью
до инверсии предметному полю f(х, у).
Частотная характеристика
оптической системы формирования изображения. Описанная выше оптич. система
является идеальной: изображение, тождественное предмету, создаётся системой
с частотной характеристикой 
В действительности же оптич.
система вносит искажения. Принципиальными являются дифракц. искажения, обусловленные
конечностью размеров линз. Влияние конечных размеров линз моделируется диафрагмой,
расположенной в фурье-плоскости оптич. системы (рис. 6) (диаметр диа-
фрагмы D равен диаметру
меньшего из объективов). В формировании изображения в такой модели принимают
участие лишь те плоские волны, к-рые фокусируются линзой
Л1 внутрь диафрагмы, т. е. волны с пространств. частотами
Эти волны приходят к плоскости
изображения П2 без искажений по амплитуде и фазе. Все прочие волны,
задерживаясь диафрагмой, не достигают плоскости изображения, т. е. оптич. система
имеет частотную характеристику:
(т. н. дифракционно-ограниченная
система). функция рассеяния [обратное фурье-преобразование функции (15)] имеет вид
(одномерный случай);
(круглая диафрагма).
Принцип корреляционной
фильтрации. Т. к. плоские волны разных пространств. частот, фокусируясь
линзой Л1 в разные точки фурье-плоскости, пространственно разделяются,
то можно избирательно воздействовать на разл. пространств. гармоники. Если маленькую
пластинку-транспарант, вносящую определ. поглощение и (или) определ. фазовую
задержку, поместить в точку (х, у)фурье-плоскости, то эта пластинка
изменит амплитуду и (или) фазу только той плоской волны, к-рая в эту точку фокусируется
(т. е. волны с частотой u= kx/f, u=ky/f). При этом все др. волны
достигают плоскость изображения без искажений по амплитуде и фазе. Помещая в
фурье-плоскость разл. маски-транспаранты, можно непосредственно влиять на пространств.
спектр изображения.
Маска с функцией пропускания
т(х,у), помещённая в фурье-плоскость, приводит к частотной характеристике
Метод управления частотной
характеристикой оптич. системы с помощью транспарантов, устанавливаемых в фурье-плоскости,
наз. принципом корреляц. фильтрации. С его помощью решаются разнообразные задачи,
такие, как улучшение разрешающей способности оптич. системы, связанное, напр.,
с сужением гл. максимума функции рассеяния; уменьшение боковых лепестков функции
рассеяния (апо-дизация), выполняемое с помощью т. н. мягких диафрагм- плавного
уменьшения пропускаемости диафрагмы от центра к краям (напр., по линейному закону);
устранение пространственно-периодич. шума в изображении; апостериорная обработка
изображений.
С помощью оптич. системы
можно совершать ряд ма-тем. преобразований. Для этого функция, подлежащая преобразованию
(в общем случае функция двух переменных), записывается в виде комплексной пропускаемости
транспаранта, к-рый располагается во входной плоскости. При освещении такого
транспаранта параллельным пучком лазера получаем на выходе транспаранта требуемое
поле f(x,y), преобразуемое затем в оптич. системе. Таким способом можно
проводить двумерное преобразование Фурье, операции свёртки и корреляции, дифференцирование
функций одной переменной с помощью частотной характеристики H(u) = iu [1]
и т. д. Многоканальный анализатор спектра, выполняемый с помощью комбинации
сфе-рич. и цилиндрич. линз, позволяет проводить одномерное преобразование Фурье
в большом числе каналов одновременно.
Преобразование пространственно-случайных (спекл-по-лей) в оптических системах. Из теории фильтрации случайных сигналов линейными колебат. системами хорошо известна связь между спектрами мощности (фурье-образами корреляц. функций) сигналов на входе и выходе фильтра Gk(w) = Fk(w)|H(w)|2, где H(w)-частотная характеристика фильтра. Аналогичное равенство справедливо для решения задачи фильтрации спекл-полей в оптич. (пространств.) фильтрах:
где Gk(u, u)и Fk(u, u) - пространств. спектры мощности
(фурье-образы автокорреляц. функций) спекл-полей во входной и выходной плоскостях
оптич. системы.
В соответствии с (16) управление
характеристиками системы для фильтрации спекл-полей осуществляется с помощью
амплитудных транспарантов.
Некогерентные оптические
системы. В некогерентных системах входным и выходным сигналами являются
интенсивности света Iвx (х, у)и Iвых
(х, у)во входной и выходной плоскостях. Связь между ними определяется
равенством
(при выполнении условия
изопланатичности).
Из (17) следует связь между
нормированными спектрами (фурье-преобразованиями) функций Iвх
(х, у)и Iвых (х, у):
где Jвх(u,
u)и Jвых(u, u) -фурье-образы функций Jвх(x,
у)и Iвых(x, y); 
(u, u)-п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я оптич. системы, определяющая
свойства некогерентной оптич. системы.
Связь между когерентной
частотной характеристикой H (и, u)и передаточной функцией оптич.
системы 
(и, u)для одномерного случая имеет вид
Возможности использования идей и методов Ф--о. существенно расширяются с применением динамически управляемых ячеек и транспарантов, располагаемых в фурье-плоскости оптич. системы: жидких кристаллов, ультразвуковых ячеек, эл--оптич. ячеек Керра и т. д.
|
|
 |
