Символический метод расчета

Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами, то этот метод носит название символического.

Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:

преобразование всех величин и параметров электрической цепи в их изображения комплексными числами;
преобразование исходной электрической цепи в символическую схему замещения, где все величины и параметры представлены изображениями;
эквивалентные преобразования схемы замещения (если требуется);
определение искомых величин в области изображений;
преобразование искомых величин в оригиналы (если требуется).

Последняя операция не является обязательной, т.к. некоторые величины (амплитудные и действующие значения токов и напряжений, активные и реактивные составляющие и т.п.) не изменяются при обратном преобразовании.

Рассмотрим применение этого метода на примере цепи, изображенной на рис. 1 а).

Обозначим стрелками направления токов принятые за положительные. Тогда во временной области для этой цепи можно составить уравнения Кирхгофа в виде

(1)

Если в выражениях (1) заменить токи и ЭДС синусоидальными функциями времени, то решить эту систему уравнений будет весьма затруднительно.

Перейдем к изображениям параметров исходной схемы комплексными числами в виде: Z₁= jw L₁; Z₂₁= R₁; Z₂₂= - j/(w C); Z₃= R₂; Z₄₁= R₃; Z₄₂= jw L₂; Z₁= R₄ . Этим параметрам соответствует схема замещения рис. 1 б). Вторая и четвертая ветви этой схемы имеют по два элемента. Их можно преобразовать как последовательное соединение к виду Z₂= R_1-j/(w C) и Z₄= R₃+jw L₂, но соединения R₁-C и R₃-L₂ можно сразу представить одним комплексным числом, в котором вещественная часть соответствует резистивному сопротивлению, а реактивная - емкостному и индуктивному. В результате схема замещения будет такой, как показано на рис. 1 в).

Переход от оригиналов к изображениям является линейной операцией, поэтому все законы справедливые для области оригиналов будут справедливы и для изображений. Кроме того, в области изображений отсутствует параметр времени и все величины являются константами, аналогично цепям постоянного тока. Поэтому формально в расчетах по схеме замещения можно применять не только основные законы электрических цепей, такие как законы Ома и Кирхгофа, но и все производные от них методы, т.е. метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения, эквивалентного генератора и др.

Для символической схемы замещения можно составить уравнения Кирхгофа в виде

(2)

Из этой системы уравнений можно найти, например, токи, представив ее в удобной для машинного анализа матричной форме записи

(3)

или в развернутой форме

(4)

Отсюда можно найти комплексные токи во всех ветвях, если известны параметры цепи и ЭДС источника. Пусть, например, e = 100sin(1000t-27° ) В; R₁ = 20 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 30 Ом; R₄ = 25 Ом; L₁ = 10 мГн; L₂ = 50 мГн; C = 50 мкФ. Тогда комплексные сопротивления и ЭДС будут Z₁ = j10 Ом; Z₂ = 20- j20 Ом; Z₃ = 15 Ом; Z₄ = 30+j50 Ом; Z₅ = 25 Ом; E_m = 100e- ^j27° .

После решения системы уравнений (2) получим: I_1m = 5.96e- ^j40.4° А; I_2m = 3.67e- ^j16° А; I_3m = 3.03e- ^j70.5° А; I_4m = 1.02e- ^j112.7° А; I_5m = 2.38e- ^j53.7° А. В этих выражениях определены амплитуды и начальные фазы всех токов. Делением модулей токов на можно найти их действующие значения, а если требуется, то можно представить и синусоидальными функциями времени в виде: i₁ = 4.67sin(1000t - 67.4° ) А; i₂ = 2.87sin(1000t - 43° ) А; i₃ = 2.37sin(1000t - 97° ) А; i₄ = 0.8sin(1000t - 139° ) А; i₅ = 1.86sin(1000t - 80° ) А.

Найдем теперь падение напряжения между узлами a и c цепи рис. 1 а), пользуясь эквивалентными преобразованиями и законом Ома. Схема замещения этой цепи приведена на рис. 1 в) и 2 а). Поэтапно преобразуя цепь Z_4ÙZ_5ÞZ₄₅=Z₄ Z₅/( Z₄+ Z₅)=18.7+j5.65 Ом; Z_45ÙZ_3ÞZ₃₄₅= Z₄₅+ Z₃=33.7+j5.65 Ом; Z_345ÙZ_2ÞZ₂₃₄₅= Z₃₄₅ Z₂/( Z₃₄₅+ Z₂)=16.3- j6.1 Ом(рис. 2 б)-г)), перейдем к цепи, представляющей собой один контур с последовательным соединением Z₁-Z₂₃₄₅-E.

Ток в контуре рис. 2 г) равен I_1m = E_m/(Z₁+Z₂₃₄₅)=100e- ^j27°/(16.3+j3.9) =5.96e- ^j40.4° А. Как и следовало ожидать, ток I_1m получился равным току рассчитанному по законам Кирхгофа. Отсюда искомая разность потенциалов U_acm= I_1m Z₂₃₄₅=103.8e- ^j61° или в области оригиналов u_ac = 103.8sin(1000t - 61° ) В.

Следует обратить внимание на то, что в исследуемой цепи амплитуда падения напряжения между узлами a и c превышает амплитуду источника ЭДС. Объяснение этому явлению дано в анализе внешних характеристик источников питания переменного тока.

к оглавлению

Знаете ли Вы, что "гравитационное линзирование" якобы наблюдаемое вблизи далеких галактик (но не в масштабе звезд, где оно должно быть по формулам ОТО!), на самом деле является термическим линзированием, связанным с изменениями плотности эфира от нагрева мириадами звезд. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира