Треугольники напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей

Как известно, любая электрическая цепь состоит или может быть представлена в виде двухполюсников. Пассивный двухполюсник однозначно определяется значениями тока и напряжения на входе или их отношением.

Пусть через некоторый двухполюсник протекает переменный ток и существует падение напряжения. Изобразим ток и напряжение на входе двухполюсника векторами на комплексной плоскости I и U (рис. 1).

Проектируя вектор U на направление вектора I (рис. 1 а)), получим вектор, модуль которого равен U_а=Ucosφ , где φ - разность начальных фаз напряжения и тока на входе двухполюсника, причем, направление вектора U_а совпадает с направлением вектора тока, поэтому его запись в показательной форме будет иметь вид

где y _i - начальная фаза тока на входе двухполюсника.

Перпендикуляр, опущенный из конца вектора U на направление вектора тока, имеет длину Usinφ и может рассматриваться как некоторый вектор U_р , сумма которого с вектором U_а равна U (рис. 1 а)). Его также можно записать в показательной форме в виде

Оператор поворота j в выражении (2) учитывает перпендикулярное положение вектора U_р по отношению к I и условие U_а + U_р = U.

Так как по построению векторы U_а и U_р в сумме равны U, то из выражений (1) и (2) вектор напряжения на входе двухполюсника можно представить как

Выражение (4) соответствует представлению на комплексной плоскости вектора Z, равного комплексному сопротивлению двухполюсника и развернутого относительно вещественной оси на угол y_i. При этом вектор Ze^jφe ^{jy i}=Ze^j(y u- y i+y i)= Ze ^{jy u} образует с вещественной осью комплексной плоскости угол y_u , т.е. оказывается совпадающим по направлению с вектором U.

Сравнивая вещественные и мнимые части выражений (3) и (4), можно представить модули составляющих вектора U в виде

т.е. модуль составляющей U_а , называемой активной или резистивной составляющей напряжения на входе двухполюсника, представляет собой падение напряжения на резистивной составляющей его комплексного сопротивления при токе I . Аналогично, модуль вектора U_р , называемого реактивной составляющей входного напряжения, является падением напряжения на реактивной составляющей комплексного сопротивления.

Рассмотренным соотношениям величин соответствует представление двухполюсника последовательным соединением резистора R и реактивного сопротивления X, представленным на рис. 1 а).

Прямоугольные треугольники U U_аU_р и ZRX (рис. 1 а)) подобны и называются соответственно треугольниками напряжений и сопротивлений.

Спроектируем теперь вектор тока I на направление вектора падения напряжения U (рис. 1 б)). Длина проекции будет равна I_а=Icosφ , а длина проектирующего перпендикуляра - I_р=Isinφ . Представим эти отрезки векторами с учетом того, что I_а совпадает с направлением вектора падения напряжения на входе двухполюсника, а в сумме эти два вектора должны быть равны I . Тогда в показательной форме -

Множитель - j является оператором поворота отрезка I_р на 90° в направлении отставания, чтобы обеспечивалось условие I_а + I_р = I .

Таким образом, из прямоугольного треугольника, составленного из векторов I_а, I_р и I и описанного выражением (8), делением на постоянную величину U всех его сторон мы получили подобный треугольник, описываемый выражением (9). Стороны нового треугольника имеют размерность проводимости и связаны с составляющими вектора тока законом Ома

Следовательно, активную и реактивную составляющую вектора тока можно представить, в виде токов, протекающих через активную (резистивную) проводимость G и реактивную проводимость B эквивалентной параллельной схемы двухполюсника (рис. 1 б)).

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

	(6)
	(7)