Сдвиг фаз между током и напряжением. Понятие двухполюсника

Рассмотрим электрическую цепь состоящую из последовательно включенных сопротивления r, индуктивности L и емкости C (рис. 1 а)).

Протекающий ток i создает на всех элементах цепи падения напряжения, сумма которых равна напряжению на входе u. Для синусоидальных функций времени это можно записать в виде выражения

Пусть ток в цепи равен i = I_msin(wt+y_i). Подставим это выражение в (1) и получим:

Очевидно, что определить из выражения (2) амплитуду и начальную фазу напряжения u сложно. Поэтому перейдем в выражении (1) от оригиналов величин к их символическим изображениям комплексными числами или векторами.

Формально выражение (3) совпадает с записью закона Ома для цепи постоянного тока. Отличие заключается в том, что все величины входящие в него являются комплексными числами изображающими реальные функции времени. Поэтому его можно назвать законом Ома в области изображений.

Графически выражение (3) можно представить векторной диаграммой рис. 1 б). Здесь вектор входного напряжения U складывается из трех составляющих. Вектор падения напряжения на резистивном сопротивлении rI совпадает по направлению с током I , т.к. отличается от него только вещественным коэффициентом r . Вторая составляющая jx_LI перпендикулярна вектору тока I и опережает его по фазе на 90°. Это связано с умножением на оператор поворота j вектора x_LI , совпадающего по направлению с током. Третий вектор -jx_СI отстает по фазе от тока на 90° , т.к. образуется из него умножением на оператор поворота -j .

Величина Z = r+j(x_L-x_C) = r+jx = Ze ^jjв выражении (3), имеющая размерность сопротивления, называется комплексным сопротивлением. Его вещественная часть r называется резистивным сопротивлением, а мнимая x = x_L-x_C - реактивным сопротивлением. Из выражения (3) следует, что комплексное сопротивление является отношением комплексного падения напряжения к комплексному току

поэтому его модуль Z можно определить через отношение модулей напряжения и тока Z=U/I или через резистивную и реактивную составляющую

. Модуль комплексного сопротивления называется полным сопротивлением.

Аргумент комплексного сопротивления φ есть разность начальных фаз напряжения и тока, но его можно также определить по вещественной и мнимой составляющим комплексного сопротивления как φ = arctg(X/R). Следовательно, сдвиг фаз между напряжением и током определяется только параметрами нагрузки и не зависит от параметров тока и напряжения в цепи. Из выражения (4) необходимо следует, что положительные значения φ соответствуют отставанию тока по фазе, а отрицательные - опережению.

Таким образом, изображение напряжения на входе цепи можно представить через комплексное сопротивление в виде

Теперь можно вернуться к определению оригинала напряжения u на входе цепи рис. 1 а) преобразованием изображения (5) -

Из выражения (3) можно представить комплексное сопротивление суммой трех величин в виде

и изобразить эти соотношения на векторной диаграмме (рис. 1 в)). Векторная диаграмма сопротивлений подобна векторной диаграмме напряжений, т.к. комплексное сопротивление Z аналитически можно получить делением комплексного напряжения U на комплексный ток I . Графически это соответствует повороту векторной диаграммы напряжений на угол -y _i и изменению ее масштаба на 1/I.

Соотношение между напряжением и током в электрической цепи можно выразить также величиной обратной сопротивлению

Величина Y называется комплексной проводимостью. Ее модуль является величиной обратной модулю комплексного сопротивления, а аргумент всегда равен его аргументу, но имеет противоположный знак.

Вещественная составляющая комплексной проводимости называется резистивной проводимостью, а мнимая - реактивной проводимостью.

Между резистивными (R и G) и реактивными (X и B)составляющими комплексной проводимости и сопротивления существует очевидное соответствие, вытекающее из понятия комплексного числа.

Угол сдвига фаз между напряжением и током в электрической цепи определяется аргументом ее комплексного сопротивления φ . Поэтому при анализе цепи часто бывает достаточно определить характер изменения этого угла при вариации некоторого параметра.

Комплексное сопротивление любого участка электрической цепи в общем случае имеет вещественную и мнимую составляющие Z=R+jX. Построим вектор Z на комплексной плоскости и проанализируем его поведение при вариации составляющих R и X .

Пусть R=const, а X=var. Тогда конец вектора Z будет скользить по прямой R=const (рис. 2). При X = 0 сопротивление Z вещественное, т.е. чисто резистивное и сдвиг фаз между током и напряжением φ равен нулю.

Если X(r) µ , то вектор Z поворачивается в положительном направлении и его аргумент в пределе стремится к p /2. Это означает, что пределом Z является комплексное индуктивное сопротивление.

При X(r) - µ , пределом вектора Z является бесконечно большое комплексное емкостное сопротивление.

Таким образом, изменение реактивного сопротивления в пределах - µ < X < + µ приводит к изменению угол сдвига фаз между током и напряжением в пределах - p /2 < φ < + p /2.

Рассматривая аналогичным образом вариации резистивного сопротивления R=var при постоянном положительном (рис. 3 а)) и отрицательном (рис. 3 б)) реактивном сопротивлении X , можно прийти к выводу, что в этом случае угол сдвига фаз между током и напряжением будет меняться соответственно в пределах +p /2 < φ <0 и - p /2 < φ < 0.

Любой участок электрической цепи, имеющий только две точки подключения, называется двухполюсником. Через эти две точки в общем случае протекает электрический ток и существует некоторое падение напряжения. Если рассматриваемый участок электрической цепи не содержит источников электрической энергии, то такой двухполюсник называется пассивным. При наличии одного или более источников энергии в двухполюснике он называется активным.

Если представить ток и напряжение на пассивном двухполюснике изображающими комплексными числами U и I (рис. 4), то их отношение будет комплексным сопротивлением Z или комплексной проводимостью Y и все рассмотренные выше соотношения будут справедливы по отношению к ним. Это означает, что в зависимости от параметров элементов образующих двухполюсник, их числа и схемы соединения, аргумент Z может находиться в пределах - p /2 < φ < + p /2.

Предельными значениями для него будут углы φ = - p /2, φ = + p /2 и φ = 0. Первые два значения соответствуют комплексным емкостному и индуктивному сопротивлениям. Фазовый сдвиг в 90° возможен только при условии, что внутри двухполюсника отсутствуют резистивные сопротивления. В дальнейшем будет показано, что в любой электрической цепи резистивная составляющая комплексного сопротивления связана с тепловыми потерями. Поэтому ее отсутствие означает отсутствие потерь энергии, что в нормальных условиях протекания электромагнитных процессов невозможно. Следовательно, невозможен и фазовый сдвиг между током и напряжением в 90° . Однако в реальных устройствах, в особенности в конденсаторах, потери могут быть столь незначительными, что ими можно пренебречь и считать двухполюсник чисто реактивным.

Рассмотренные закономерности позволяют представить любой сколь угодно сложный пассивный двухполюсник эквивалентным набором не более, чем двух элементов, который обеспечивает такую же связь между током и напряжением на входе, как исходный двухполюсник. Для этого достаточно знать модули тока и напряжения на входе и сдвиг фаз между ними. Все возможные варианты замещения двухполюсника приведены в таблице 1.

Во многих случаях характер двухполюсника можно определить по составу элементов электрической схемы. Отсутствие реактивных элементов в схеме всегда позволяет представить двухполюсник эквивалентным резистивным сопротивлением. Наличие резисторов и реактивных элементов одного из типов (только индуктивностей или только емкостей), также позволяет однозначно представить двухполюсник в виде совокупности резистора и соответствующего реактивного элемента, тип которого всегда соответствует типу реактивных элементов исходной схемы. Наличие в схеме двухполюсника реактивностей противоположных типов не позволяет определить тип двухполюсника без расчета значения φ, однако после расчета он также может быть заменен схемой замещения, соответствующей типу его эквивалентной реактивности.

В таблице 1 резистивно-индуктивный и резистивно-емкостной двухполюсники представлены двумя схемами - последовательной и параллельной. Они содержат реактивный элемент и резистор. Такому представлению соответствует учет потерь энергии в электромагнитных процессах, изображаемых на электрических схемах индуктивностью или емкостью.

Дело в том, что при любых электромагнитных процессах происходят необратимые потери энергии, связанные с преобразованием в тепло. Мощность этих потерь, в соответствии с законом Джоуля-Ленца, равна I²R или U²/R, где I и U - действующие значения тока и напряжения на участке электрической цепи, а R - его резистивное сопротивление. Однако резистивное сопротивление не обязательно должно быть сопротивлением проводника или проводящей среды. Сопротивлением можно представить даже процесс преобразования в тепло, не связанный в явном виде с протеканием электрического тока. Резистором можно также учесть механическую работу, совершаемую электромагнитными силами. При таких представлениях достаточно, чтобы соблюдалось равенство мощности выделяющейся в резисторе и в реальном процессе.

По соображениям удобства решения конкретной задачи, резистор можно подключить последовательно или параллельно реактивному элементу (L или C).

Тогда из выражений (9) соотношения между параметрами последовательной и параллельной схем замещения для рис. 5 а) будут

Из выражений (10) и (11) следует, что параметры элементов эквивалентных схем при взаимных преобразованиях зависят не только от параметров элементов исходной схемы, но и всегда от частоты.

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Фазовый сдвиг φ	Комплексное сопротивление двухполюсника Z	Область возможных значений Z	Схема замещения	Название двухполюсника
j =p /2	Z=jw L=jX_L			Индуктивный
0 < φ < p /2	Z = R+jX_L			Резистивно-индуктивный
j =0	Z = R			Резистивный
0 >φ >-p /2	Z = R- jX_C			Резистивно-емкостной
j = - p /2	Z = - j/(w C) = - jX_C			Емкостной