Метод решения дифференциальных уравнений Эйлера

Метод Эйлера (Метод называют также методом ломаных, так как участки кривой функции заменяются отрезками прямых) является простейшим приближенным способом решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим его геометрическую интерпретацию на примере одного уравнения

Пусть требуется проинтегрировать уравнение на интервале [a,b] т.е. найти профиль изменения функции y для заданного диапазона значений аргумента x (см. рис.).

Разделим интервал [a,b] на равные малые отрезки D x, называемые шагом интегрирования. На рисунке пунктиром обозначена неизвестная функция y, которую требуется найти. Мысленно проведем в точке касательную к функции. Приближенным значением функции y в точке с координатой a+D x, т.е. на конце первого отрезка будем считать точку пересечения касательной и перпендикуляра, восстановленного в этой точке. Тогда

Угол a – это угол наклона касательной, проведенной в точке a. Из геометрического смысла первой производной следует, что тангенс угла наклона касательной, проведенной в некоторой точке, численно равен первой производной, вычисленной в этой точке, т.е.

Формула для приближенного значения функции на конце отрезка принимает вид

Вычислив значение функции после первого шага интегрирования, применим выведенную формулу для второго шага и т.д. Для произвольного шага i формула Эйлера принимает вид

Таким образом, приближенное значение функции на конце текущего отрезка интегрирования равно сумме значения функции в начале отрезка и произведения шага интегрирования на величину производной, вычисленной в начале отрезка. Для первого шага должно быть известно значение функции в начале всего интервала интегрирования (в точке a), это значение называют начальным условием.

Для решения системы из p дифференциальных уравнений формулу Эйлера на каждом шаге интегрирования применяют для каждого из p уравнений.

Метод Эйлера достаточно прост для реализации, поэтому его часто программируют непосредственно в прикладной программе.

Знаете ли Вы, что эконометрические модели - это экономико-математические модели, целью которых является установление значений параметров исследуемой экономической системы, не поддающихся непосредственному наблюдению. Как правило, представляют собой эмпирическую спецификацию теоретической модели исследуемой системы, содержащей требуемый параметр, которую оценивают на основе имеющихся эмпирических данных с помощью того или иного статистического метода (например, метода наименьших квадратов, метода оболочки данных, метода максимальной энтропии и т.п.).