Метод Рунге–Кутты часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем
уравнений из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение
наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка
интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге–Кутты) или
четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.
Для случая одного уравнения двучленная итерационная формула может иметь вид
yn+1=yn+h f(xn+0,5h,yn+0,5hfn)
Последовательность вычислений: сначала делают половинный шаг по схеме ломаных (по формуле
Эйлера), находя yn+0,5=yn+hy’n+0,5,
затем в найденной точке определяют наклон кривой
y’n+0,5=f(xn+0,5, yn+0,5)
и по этому наклону определяют приращение на целом шаге yn+1=yn+
hy’n+0,5.
Четырехчленная схема Рунге–Кутты наиболее часто употребляется в машинных расчетах и имеет
четвертый порядок точности:
Метод Рунге–Кутта легко переносится и на
случай системы дифференциальных уравнений.
В библиотеку Mathlib включена процедура
RKGS, реализующая метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага
интегрирования
Замечание. Так как в
процедуре шаг выбирается автоматически в
зависимости от скорости изменения функций,
обычно применяют следующий алгоритм: задаются
требуемым шагом вывода результатов (в программе
переменная sprint), определяют число шагов n, а
затем процедуру вызывают n раз для
последовательного интегрирования уравнений на
этих участках, организуя вывод результатов после
завершения процедуры.
Знаете ли Вы, что эконометрические модели - это экономико-математические модели, целью которых является установление значений параметров исследуемой экономической системы, не поддающихся непосредственному наблюдению. Как правило, представляют собой эмпирическую спецификацию теоретической модели исследуемой системы, содержащей требуемый параметр, которую оценивают на основе имеющихся эмпирических данных с помощью того или иного статистического метода (например, метода наименьших квадратов, метода оболочки данных, метода максимальной энтропии и т.п.).
