Одноканальная СМО с конечной надежностью

Построить граф состояний одноканальной СМО с очередью на три заявки и с конечной надежностью каналов обслуживания. При отказе канала обслуживания заявка, находившаяся на обслуживании, теряется. Процессы в системе - марковские.

- интенсивность ремонта неисправного канала.

Граф состояний СМО с конечной надежностью каналов обслуживания приведен на рис. 2.14.

Если в состоянии

(канал свободен, в очереди заявок нет) система выйти из строя не может, то состояния

нет. Так как при отказе заявка, находившаяся на обслуживании, теряется, то после восстановления переход осуществляется к предыдущему состоянию, например, из состояния

в состояние

Эта модель не является моделью "гибели и размножения". Поэтому соответствующие вероятности находятся решением системы линейных алгебраических уравнений, полученных из уравнений Колмогорова для стационарного режима.

Метод динамики средних. Сущность и содержание метода

В многоэлементных системах часто целью моделирования является определение средних количеств элементов, находящихся в одинаковых состояниях.

Например, в задаче о пеленгации передатчиков противника командира интересует число запеленгированных передатчиков, а не вероятности пеленгации одного передатчика, двух, трех и т. д. Но чтобы определить среднее число их, надо знать вероятности всех возможных состояний

, так как

Но число состояний и, следовательно, число уравнений Колмогорова может оказаться настолько большим, что вызовет непреодолимые трудности при моделировании по схеме марковских процессов.

Например, в соединении имеется 100 радиостанций. Каждая из них может находиться в боевых условиях в пяти состояниях:

Для определения средних численностей каждого из этих состояний пришлось бы составить

уравнений Колмогорова. Очевидно, такое моделирование не годится.

В исследовании операций есть метод, позволяющий успешно решать такие и аналогичные задачи. Этот метод называется метод динамики средних.

Метод динамики средних позволяет непосредственно определять математическое ожидание числа элементов сложной системы, находящихся в одинаковых состояниях.

Метод дает приближенные результаты. Но обладает замечательным свойством: чем больше система имеет элементов и состояний, тем точнее результат математического моделирования.

Для получения расчетных формул метода предположим, что имеем дело с системой, обладающей следующими признаками:

Цель моделирования: определить средние количества элементов (математические ожидания)

находящихся в одинаковых состояниях

, и дисперсию

Схематично такая система может быть представлена так, как показано на рис. 2.15.

Система имеет

элементов, а каждый элемент имеет

состояний. Численность

-го состояния на любой момент времени - величина случайная. Обозначим ее

. Матожидание и дисперсия этой случайной величины:

В дальнейшем для лучшей обозримости формул аргумент

писать не будем:

Отсюда следует, что случайная величина

равна:

В силу однородности элементов и независимости состояний случайная величина

имеет биномиальное распределение (распределение Бернулли) с матожиданием и дисперсией соответственно:

Равенство

связывает вероятность

-го состояния элемента в произвольный момент времени с матожиданием численности этих состояний по всем элементам.

Определять значения

для одного элемента мы умеем. Для этого достаточно составить систему уравнений Колмогорова и решить ее.

Вспомним, что система уравнений Колмогорова для одного элемента содержит

уравнений, а для всех

элементов -

, то есть в

раз меньше. В этом и состоит выигрыш, который дает применение метода динамики средних.

Порядок моделирования с использованием метода динамики средних заключается в следующем.

Поскольку процессы в элементах - марковские, то справедливы все рассуждения об установившихся значениях

, об условиях существования установившихся значений

Полученные уравнения для

называют уже не уравнениями Колмогорова, а уравнениями динамики средних.Поскольку они получаются из уравнений Колмогорова путем умножения всех членов на постоянное число

, то их можно писать сразу для средних численностей состояний

по образцу уравнений для вероятностей

Рассмотрим на примере методику моделирования с использованием метода динамики средних.

Пример 2.8 .В части имеются 100 средств связи (СС). СС выходят из строя с интенсивностью

. При нахождении СС в неисправном состоянии проводится его диагностика, в результате чего оно может быть отправлено в ремонтное подразделение части (интенсивность отправки

), либо во внешнее ремонтное подразделение (интенсивность отправки

), либо списано (интенсивность списания

). В ремонтном подразделении части СС ремонтируются с интенсивностью

, а во внешнем ремонтном подразделении - с интенсивностью

СС части пополняются с интенсивностью

, в среднем равной интенсивности списания.

Требуется провести моделирование с целью определения средних численностей каждого состояния СС.

По дисперсии определяется среднеквадратическое отклонение численности состояний

и находится диапазон возможных значений численности

состояния

Метод динамики средних справедлив и для предельных значений численностей состояний. В данной задаче уравнения динамики средних - система линейных алгебраических уравнений:

Однако прежде чем переходить к этим уравнениям, нужно сначала убедиться, что стационарные значения

существуют. Здесь численности состояний

не являются функциями времени. Поэтому можно воспользоваться нормировочным условием.

Ссылки

Боев В.Д., Сыпченко Р.П. Компьютерное моделирование

Знаете ли Вы, что методы Рунге - Кутты - это важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. Формально, методом Рунге - Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.