Гамильтона - Якоби уравнение - дифференциальное ур-ние в частных производных 1-го порядка, описывающее движение
голономных механич. систем под действием потенц. сил. Чтобы составить Г.- Я.
у., необходимо для данной механич. системы знать Гамильтона функцию H(qi,
pi, t), где qi и рi- - канонич.
переменные: обобщённые координаты и обобщённые импульсы, a t - время.
Тогда Г.- Я. у. будет иметь вид
где правая часть представляет
собой выражение функции H, в к-ром все pi заменены на
, a S - подлежащая
определению функция координат qi и времени t, представляющая
собой действие по Гамильтону; иногда функцию S (qi, t)наз.
главной функцией Гамильтона.
В частном случае при движении
одной материальной точки в силовом поле, определяемом силовой функцией U(x,
у, z, t), Г.- Я. у. имеет вид
,
где т - масса точки,
х, у, z - её координаты.
Г.- Я. у. непосредственно
связано с Гамильтона уравнениями ,к-рые с матем. точки зрения являются
для ур-ния (1) ур-ниями характеристик.
Чтобы с помощью Г.- Я.
у. найти закон движения механич. системы, надо определить полный интеграл ур-ния
(1), т. е. его решение, содержащее столько постоянных интегрирования, сколько
в ур-нии независимых переменных. Этими переменными являются координаты qi
и время t; число их равно s+1, где s - число степеней свободы системы.
Следовательно, полный интеграл ур-ния (1) должен содержать s+l постоянную, из
к-рых одна, как аддитивная, может быть отброшена, и имеет вид
Если решение Г.- Я. у.
в виде (2) будет найдено, то, составив s равенств
где 
- новые произвольные постоянные, получим s алгебраических (недифференциальных)
ур-ний, левые части к-рых содержат qi, 
и
t и из к-рых можно определить qi в виде
Значения др. группы канонич.
переменных рi находят из равенств
Ур-ния (4), выражающие
qi как функции t, и определяют положение механич. системы
в любой момент времени, т. е. закон её движения. Входящие сюда постоянные 
и 
находят подстановкой
начальных данных в равенства (4) и (5).
Если функция Гамильтона H явно не содержит время, что, в частности, имеет место для консервативных
систем, то S можно искать в виде
где h - постоянная,
равная полной энергии системы, a S0 - величина, наз. укороченным
действием (действием по Лагранжу) или характеристич. функцией и определяемая как
полный интеграл ур-ния в частных производных
в виде 
Тогда полный интеграл Г.- Я. у. будет 
и закон движения системы
определится в соответствии с (3) из равенств
Ур-ния (7), содержащие
в данном случае только qi, 
и не содержащие время t, определяют в многомерном пространстве траекторию
точки, изображающей данную механич. систему, а ур-ние (8) даёт закон движения
вдоль этой траектории. Значения постоянных 
определяются и в этом случае подстановкой начальных данных в равенстве (5),
(7) и (8).
Г.- Я. у. и связанный с
ним метод решения задач механики играют важную роль и в др. областях физики, особенно в оптике и квантовой механике. В частности, известное в геом. оптике
ур-ние эйконала подобно Г--Я. у. в виде (6), где S0 играет
роль эйконала. Этот результат позволяет рассматривать классич. механику как
аналог геом. оптики, в к-ром роль поверхностей движущейся волны играют поверхности
S0(qi)=const, а роль световых лучей - ортогональные
к этим поверхностям траектории движения.
С. M. Торг
|
|
 |
