Изображений метод - один из методов решения краевых задач матем. физики (для Гельмголъца уравнения, Пуассона уравнения, волнового уравнения и др.), заключающийся в сведении исходной задачи отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных поверхностей к расчёту поля тех же и нек-рых добавочных (фиктивных) источников в безграничной среде. Последние помещаются вне области отыскания поля исходной задачи и наз. источниками-изображениями. Их величина и положение определяются формой граничных поверхностей и видом граничных условий. К классу задач, разрешимых с помощью И. м., относят обычно те, в к-рых каждому заданному точечному источнику удаётся сопоставить конечную систему (иногда бесконечный дискретный ряд) однотипных точечных источников-изображений. Существует достаточно простой способ "конструирования" задач этого класса с заранее известным ответом. Он состоит в решении обратной задачи отыскания поверхности, на к-рой выполняется требуемое граничное условие для поля нек-рой произвольно заданной системы точечных источников (разграничиваемых искомой поверхностью на сторонние и фиктивные). Однако ценность большинства построенных таким способом решений оказывается весьма ограниченной из-за осуществляемой в них жёсткой фиксации положения сторонних источников по отношению к граничной поверхности. Лишь в немногих случаях, отвечающих нек-рым простейшим формам границы и типам граничных условий, решение может быть построено при произвольном расположении сторонних источников, а следовательно, на основании принципа суперпозиции, и для любого вида их пространственного распределения. Наиб. известные из такпх случаев описаны ниже применительно к полям и источникам разл. типов. В электростатике, где И. м. получил наиб. развитие, простейшим примером его использования является определение поля точечного заряда q, расположенного над бесконечной плоской границей проводника с потенциалом j=0. Искомое поле (в том полупространстве, где расположен заряд) тождественно полю, создаваемому в безграничной среде двумя точечными зарядами: данным зарядом q и его (взятым с обратным знаком) зеркальным (относительно границы) изображением q'=-q. Если поверхность проводника представляет собой сферу S радиуса а, а заряд q лежит в точке Р на расстоянии ОР от её центра О, то как внутр. задача (ОР<a), так и внеш. задача для заземлённого шара [ОР>а, j(S)-0] решаются с помощью единственного заряда-изображения q', помещаемого в точку Р', лежащую на одной радиальной прямой с Р по др. сторону от границы S. Величина заряда q' и его расстояние до центра ОР' даются соотношениями: q'=-qa/OP, OP'=a2/OP, т. е. Р и Р' связаны преобразованием инверсии относительно сферы S. Система изображений для незаряж. изолированного тара состоит из заряда q' в инверсной точке Р' и заряда q''=-q' в центре О. Подобный вид имеет решение аналогичной двумерной задачи (заряж. нить, параллельная оси проводящего цилиндра). Отличие от сферы состоит в том, что абс. величины заданного и фиктивного линейных зарядов одинаковы. В ряде случаев оказывается возможным построить систему изображений для проводящих поверхностей, представляющих собой комбинацию рассмотренных простейших форм. Сюда относятся, в частности, двугранный угол величины p/m (где т - целое число), две параллельные плоскости (порождающие бесконечный ряд зарядов-изображений), плоскость с полусферич. выступом и т. д. Известны две задачи, в к-рых И. м. позволяет найти поле зарядов, расположенных около границы диэлектрика. Первая задача - в поле точечного заряда q, лежащего в точке Р над плоскостью S, разделяющей две среды (1 и 2) с разл. диэлектрич. проницаемостями e1 и e2. Поле в той среде, где находится заряд (пусть для определённости это будет среда 1), ищется как суперпозиция полей двух зарядов q и q' в однородном диэлектрике с e=e1; заряд q' лежит в точке Р', представляющей собой зеркальное изображение точки Р относительно границы S. Поле в среде 2 ищется как поле заряда q'' в однородном диэлектрике с e1=e2; заряд q'' лежит в той же точке Р, что и заданный заряд q. Граничные условия на S для потенциала j и его нормальной производной Рj/Рn
j1 = j2, e1(Рj1/Рn)= e2(Рj2/Рn) (1)
будут выполнены, если
q'=q([ e1- e2]/[e1+ e2]) q''=q(2e2/[e1+ e2]) (2)
Аналогичным образом строится решение второй задачи, заключающейся в расчёте поля двумерной системы, образованной заряж. нитью и диэлектрич. цилиндром. На основании известных аналогий получаемые с помощью И. м. решения при сопоставимых граничных условиях могут быть перенесены из электростатики в др. области: токовую статику, магнитостатику, гидродинамику. В частности, заменяя в (2) диэлектрич. проницаемости на магнитные, получаем закон изображения магн. полюсов в плоской границе магнетика, легко обобщаемый затем на "магн. листки" и эквивалентные им токи. При е2=0 (Рj1/Рn=0) ф-лы (2) дают решение родственной группы разл. физ. задач о потенц. обтекании границы (в данном случае плоской) непроницаемого препятствия, роль к-рого в магнитостатике играет сверхпроводник, в токовой статике - изолятор, в гидродинамике - твёрдое тело. С помощью конечной системы изображений могут быть построены также решения аналогичных задач обтекания для тел более сложной формы (сфера, нек-рые овалоиды), внесённых в однородный на бесконечности поток. Для перем. полей, описываемых волновым ур-нием (в электродинамике, акустике и т. д.), И. м. позволяет получить точное решение задачи лишь в случае плоской границы, на к-рой проекция поля или потенциалы удовлетворяют граничным условиям простейшего вида (j=0 или Рj/Рn=0). В частности, легко решается задача о поле перем. электрич. диполя над идеально проводящей плоскостью. Искомое поле создаётся данным диполем [с моментом p(t)] и его зеркальным изображением [с моментом p'(t)] в плоскости. Касательная (t) и нормальная (n) к плоскости компоненты векторов р и р' связаны соотношениями: р't=-рt, р'n=pп. При достаточно малой длине волны в рамках геометрической оптики метода и нек-рых уточняющих его коротковолновых приближений И. м. применим для широкого класса границ и граничных условий и сводится к построению картины лучей и геометро-оптич. изображении.
В. Б. Гильденбург
|
|
 |
