Лоренца система - система трёх нелинейных дифференц. ур-ний первого порядка:
решения к-рой в широкой
области параметров являются нерегулярными функциями времени и по мн. своим характеристикам
неотличимы от случайных. Л. с. была получена Э. Лоренцем (Е. Lorenz) из ур-ний
гидродинамики как модель для описания тепловой конвекции в горизонтальном слое
жидкости, подогреваемой снизу (Рr - Прандтля число, 
- приведённое Рэ-лея число, b - определяется выбором моды
в Фурье-разложении поля скорости и температуры).
Рис. 1. Иллюстрация последовательных
бифуркаций в системе Лоренца при увеличении параметра r: а) 
; б) 
;
в)
г)
д)
е)
Л. с.- один из примеров
динамической системы, имеющей простой физ. смысл; она демонстрирует стохастич.
поведение системы. В фазовом пространстве этой системы в области параметров,
указанных на рис. 1, существует странный аттрактор ,движение изображающей
точки на к-ром соответствует "случайному" - турбулентному течению
жидкости при тепловой конвекции.
Рис. 2. Конвективная петля - физическая модель, для которой выводятся уравнения Лоренца.
Л. с. (при b=l)
описывает, в частности, движение жидкости в конвективной петле, расположенной
в вертикальной плоскости
в однородном поле тяжести тороидальной полости, заполненной жидкостью (рис.
2). На стенках полости поддерживается не зависящая от времени (но зависящая
от угла 
)
темп-pa Т(
);
ниж. часть петли теплее верхней. Ур-ния движения жидкости в конвективной петле
сводятся к Л. с., где x(t] - скорость движения жидкости, у (t) - темп-pa
в точке N, a z(t) - темп-pa в точке М при больших t. С ростом г характер движения жидкости меняется: сначала (при г<1)
жидкость неподвижна, далее (при
) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо
против); при ещё больших r всё течение становится чувствительным к малым
изменениям нач. условий, скорость циркуляции жидкости меняется уже нерегулярно:
жидкость вращается иногда по часовой стрелке, иногда - против.
При обычно используемых
значениях Pr=10, b=8/3 Л. с. обладает след. свойствами: ур-ния
Л. с. инварианты относительно преобразования 
,
фазовый объём сокращается с пост. скоростью
за единицу времени объём
сокращается в
106 раз. С ростом г в Л. с. происходят след. осн. бифуркации. 1) При 
единственным состоянием равновесия является
устойчивый узел в начале координат О (О, О, 0). 2) При 
, где r1=13,92, Л. с. кроме упомянутого тривиального (О)имеет ещё два состояния равновесия 
,
. Состояние
равновесия О является седлом, имеющим двумерное устойчивое многообразие
и одномерное неустойчивое, состоящее из О и двух сепаратрис 
и
, стремящихся
к
и
(рис.
1, а). 3) При r=r1 каждая из сепаратрис становится
двоякоасимпто-тической к седлу О (рис. 1, б). При переходе r через
r1 из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые)
периодич. движения - предельные циклы L1 и L2. Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное
предельное множество; оно, однако, не является притягивающим (аттрактором),
и при 
(рис.
1, в), где r2=24,06, все траектории по-прежнему стремятся
к
. Эта
ситуация отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы
_ и 
идут
к "не своим" состояниям равновесия 
и 
соответственно.
4) При 
,
гдо 
= 24,74, в Л. с. наряду с устойчивыми состояниями равновесия
существует
ещё притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий,-
аттрактер Лоренца (рис. 1, д и рис. 3). 5) При 
седловые циклы L1 и L2 стягиваются
к состояниям равновесия 
и 
,
к-рые при 
теряют
устойчивость, и при 
единственным притягивающим мно-
жеством Л. с. является
аттрактор Лоренца. Т. о., если стремить
к 
со
стороны меньших значений, то стохастичность в Л. с. возникает сразу, скачком,
т. е. имеет место жёсткое возникновение стохастичности.
Рис. 3. Траектория, воспроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из начала координат); горизонтальная плоскость соответствует r = = 27, r=28.
К Л. с. сводятся не только ур-ния, описывающие конвективные движения жидкости, но и др. физ. модели (трёхуровневый лазер, дисковое динамо и т. д.).
В. Г. Шехов
|
|
 |
