Параметрический резонанс - явление раскачки колебаний при периодич. изменении параметров тех элементов колебат. системы, в к-рых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или энергоёмкие параметры). П. р. возможен в колебат. системах разл. физ. природы. Напр., в электрич. колебательном контуре реактивными параметрами являются ёмкость С и индуктивность L, в к-рых запасены электрич. энергия Wэ = q2/2C и магн. энергия Wм = LI2/2 (где q - заряд на обкладках конденсатора, I - ток в катушке индуктивности). Собств. колебания в контуре без потерь с постоянными С и L происходят с частотой = 1/LC. При этом полная энергия W = Wэ + Wм, запасённая в контуре, остаётся неизменной, происходит лишь её периодич. трансформация из электрической в магнитную и обратно с частотой Изменение параметров С и L, сопровождающееся работой внеш. сил (накачка), приводит к изменению полной энергии системы. Если ёмкость С изменить скачком за время, малое по сравнению с периодом собств. колебаний (рис. 1,а), то заряд скачком измениться не может (поскольку сила тока I остаётся конечной величиной, рис. 1, б). В результате напряжение на ёмкости U = q/C (рис. 1,в) и электрич. энергия W, изменяются обратно пропорц. С, причём совершаемая при этом работа пропорц. q2. Если изменять ёмкость С периодически в такт изменениям Wэ, (обусловленным собств. колебаниями), уменьшая её в моменты, когда q2 и Wэ максимальны, и увеличивая, когда эти величины равны нулю (рис. 1), то в ср. за период над системой совершается положит. работа и, следовательно, полная энергия и амплитуда колебаний будут монотонно нарастать.
Рис. I. Связь между изменениями ёмкости С конденсатора (а), заряда q на его обкладках (б) и напряжения U (в)при параметрическом резонансе в колебательном контуре.
П. р. наиб. эффективно проявляется при изменении параметров колебат. системы с периодом Тн, кратным полупериоду собств. колебаний Т0:
где п - целое число, - частота накачки. Математически свободные колебания в таких системах описываются дифференц. ур-ниями с переменными коэф. Напр., в случае колебат. контура с перем. ёмкостью C(t)(в отсутствие омического сопротивления) ур-ние относительно заряда q(l)имеет вид
(ур-ние Xилла). Согласно Флоке теореме, общее решение (2) можно записать в виде
где С1,2 - произвольные коэф., определяемые нач. условиями, - периодич. функция с периодом Тн - коэф., зависящий от параметров системы. При выполнении условия (1) и один из членов (3) даёт нарастающие во времени колебания. Наиб. быстрая раскачка имеет место при п = 1, когда частота накачки равна частоте колебаний величин Wо и WM в системе Нарастание колебаний возможно не только при точном выполнении соотношений (1), но и в нек-рых конечных интервалах значений вблизи (в зонах неустойчивости), ширина зон тем больше, чем сильнее изменяются параметры С и L. Изменение параметра, напр. ёмкости С, характеризуют величиной
т = (Смакс - С мин)/(Cмакс + Cмин),
наз. глубиной изменения параметра. В частном случае синусоидального изменения
[ур-ние (2) при этом наз. ур-нием Матьё] в осн. зоне (п = 1) при т 1 инкремент равен
так что в середине зоны
во второй зоне (п =2)
~ m2, в третьей
~ т3 и т. д.
П. р. приводит к неустойчивости колебат.
системы, т. е. к нарастанию малых нач. возмущений, напр. неизбежных во
всякой системе флуктуаций, среди к-рых всегда найдётся составляющая с подходящей
фазой по отношению к фазе изменения параметров. В отсутствие потерь энергии
параметрич. неустойчивость наступает при сколь угодно малой глубине изменения
параметров. Если же в системе имеются потери (напр., в контуре присутствует
сопротивление R), то неустойчивость возникает только при достаточно
больших изменениях С или L, когда параметрич. накачка энергии
превосходит потери. Зоны неустойчивости при этом соответственно
уменьшаются или даже исчезают совсем (на рис. 2) уменьшать l
в нижнем и увеличивать в крайних положениях [при этом снова выполняется
соотношение (1)], то работа внеш. силы, совершаемая в ср. за период, оказывается
положительной и колебания могут раскачиваться. На П. р. основано самораскачивание
на качелях, когда эфф. длина маятника периодически изменяется при приседаниях
и вставаниях качающегося. П. р. учитывается в небесной механике при расчёте
возмущений планетных орбит, вызванных влиянием др. планет.
В колебат. системах с неск. степенями
свободы (напр., в системе из двух связанных контуров, маятников и др.)
возможны нормальные колебания (моды) с разя, частотами,
Поэтому колебания энергии, запасённой в к--л. реактивном элементе, содержат
не только составляющие с частотами.,
но и с частотами, равными суммам и разностям разл. нормальных частот. Соответственно
нарастание колебаний здесь возможно как при выполнении условия (1) для
любой из нормальных частот, так и, напр., при изменении параметра с суммарной
частотой:
П. р. приводит к самовозбуждению обоих нормальных колебаний с определ. соотношением фаз. Резонансная связь мод возможна также при однако при этом вместо самовозбуждения происходит лишь периодич. перекачка энергии между модами. Соотношение (2) выражает закон сохранения энергии при распаде кванта "накачки" с энергией на два кванта: и . Отсюда следует также, что мощность Рн, поступающая в колебат. систему на частоте, и мощности Р1, Р2, потребляемые на частотах и пропорц. соответствующим частотам (частный случай т. н. соотношений Мэнли - Роу):
В колебат. системах с распределёнными параметрами,
обладающих бесконечным числом степеней свободы, также возможно возбуждение
нормальных колебаний в результате П. р. Классич. пример - опыт Мельде (1859),
в к-ром наблюдалось возбуждение поперечных колебаний (стоячих волн) в струне,
прикреплённой одним концом к ножке камертона, колебания к-рого периодически
меняют натяжение струны (рис. 4) с частотой, вдвое больше частоты собств.
поперечных колебаний. П. р. может приводить к раскачке изгибных колебаний
вращающихся валов. Др. пример - опыт Фарадея (1831), в к-ром вертикальные
колебания сосуда с водой приводит к возбуждению стоячей поверхностной воды
с удвоенным периодом.
Рис. 4. Параметрическое побуждение колебаний струны.
Существ. особенность П. р. в волновых системах состоит в том, что его эффективность зависит от соотношения между законом изменения параметров системы в пространстве и пространственной структурой воли. Напр., если накачка, изменяющая параметры среды, представляет собой бегущую волну с частотой и волновым вектором kH, то возбуждение пары нормальных волн с частотами, и волновыми векторами k1, k2 осуществляется, если выполняются условия П. р. как во времени, так и в пространстве:
kH = k+ k2. (4)
В предельном случае бесконечно большой
фазовой скорости волны накачки(kн0
при конечном
) условия (4) дают k2
- k1, и в простейшем случае
т. е. нарастать может стоячая волна на половинной частоте. В другом предельном
случае (
0 при конечном kн,)
равенства (4) сводятся к условию резонансного (брэггов-ского) отражения
от неподвижной периодич. неоднородности среды; здесь полная энергия сигнала
остаётся постоянной, а происходит его отражение (непропускание) периодич.
структурой.
На квантовом языке условия (4) означают,
что при распаде кванта накачки сохраняются как энергия, так и импульс.
Нарастание амплитуд волн во времени и в пространстве (распадная неустойчивость)
также ограничивается нелинейными эффектами: если значит. часть энергии
накачки израсходована на возбуждение этих волн, то возможен обратный процесс
- рост энергии накачки за счёт ослабления волн на частотах,
; в среде без потерь такой обмен энергией происходит периодически.
Возможны также многоволновые процессы,
когда во взаимодействии участвует большее число волн.
Параметрич. и нелинейные резонансные взаимодействия
волн характерны, напр., для разл. типов волн в плазме, мощных световых
волн (см. Параметрический генератор света ),волн в электронных пучках
и др. волновых процессов.
Л. А. Островский, Н. С. Степанов