Предельный цикл - изолированная замкнутая траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич.
движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый
П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему - "наматываются"
на него (устойчивый П. ц.). Поведение траекторий в окрестности П. ц. связано
со значениями его мультипликаторов (см. Бифуркация ).Если абс. величины
всех мультипликаторов меньше 1, то все трдектории неограниченно приближаются
к нему и он устойчив. Устойчивый П. ц. является матем. образом периодич. автоколебаний. Напр., ур-ние Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового
генератора) имеет при значениях параметра
> 0 единственный
устойчивый П. ц. (рис. 1).
Рис. 1. Фазовые портреты генератора Ван дер Поля
при различных значениях нелинейности: а - квазигармоничные колебания;
6 - сильно несинусоидальные; в - релаксационные.
Для систем с одной степенью свободы (их фазовое
пространство - плоскость) устойчивыми П. ц. и устойчивыми состояними равновесия
исчерпываются все возможные объекты, к-рые притягивают соседние траектории на
фазовой плоскости. В многомерных динамич. системах с размерностью фазового пространства
n3
возможны более сложные притягивающие объекты - аттракторы.
Если часть мультипликаторов (но не все) по модулю больше 1, то предельный
цикл седловой (рис. 2) и лежит на пересечении двух сепаратрисных многообразий:
устойчивого, по которому траектории приближаются к предельному циклу, и
неустойчивого, состоящего из удаляющихся от предельного цикла траекторий.
Устойчивые многообразия предельных циклов могут разделять в фазовом
пространстве области притяжения разл. аттракторов - как простых (состояние
равновесия, устойчивый предельный цикл), так и странных. Неустойчивые
многообразия седловых предельных циклов могут входить в состав
странных аттракторов
и стохастич. множеств гамильтоновых систем и определять их структуру.
Если все мультипликаторы по модулю больше 1, то предельный цикл неустойчив
(устойчив при обращении направления движения по траектории, т. е. при
).
Переход через единичное значение абс. величин
одного или неск. мультипликаторов при изменении параметров динамич. системы
свидетельствует о бифуркации смены устойчивости или исчезновения П. ц.
Литература по предельным циклам
Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. 3., Теория колебаний, [3 изд.], м., 1981;
Баутин Н. Н., Леонтович E. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М., 1976;
Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984.
Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса? (Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды. Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
> 0 единственный
устойчивый П. ц. (рис. 1).
3
возможны более сложные притягивающие объекты - аттракторы.
- устойчивое се-паратрисное многообразие;
-
неустойчивое сепаратри-сное многообразие.
).
