Хаос - сложное, нерегулярное (апериодическое) изменение состояния физ. системы в пространстве и/или во времени.
Происхождение хаотического
поведения может быть обусловлено разл. причинами.
X. может представлять собой
нек-рое многопериодическое движение:
где F-2p-периодическая
функция по каждому аргументу. Тогда если среди частот wi есть
несоизмеримые, то реализация представляет сложное изменение со временем вектора
состояния X. С возникновением многопериодических движений связан сценарий
появления турбулентности по Хопфу. В фазовом пространстве n-периодиче-ское
движение описывается траекторией, наматывающейся на n-мерный тор. В частном
случае n-торы образуются в результате сложения (суперпозиции) конечного
числа гармонических колебаний. Напр., автономная система двух связанных осцилляторов,
описываемая ур-ниями
совершает двухпериодическое
движение:
где А1=
А2, В1=-В2, w21=
w2 - k2, w22= w2
+ k2, a1 a2-нач. фазы. Если частоты
w1 и w2 действительные и несоизмеримые, то соответствующее
движение в общем случае апериодическое.
Сложная динамика может
возникать также за счёт того, что под действием внеш. факторов параметры системы
меняются со временем. Примером является неавтономная система, описываемая у
р а в н е н и е м М а т ь ё:
В областях стабильности
(за исключением дискретного множества точек) величина х ограничена и
меняется апериодически. В соответствии с теоремой Флоке - Ляпунова (иногда называемой
Блоха теоремой)эта величина является двухпериодической функцией.
X. возникает, если в системе
протекают случайные процессы. Такие процессы могут быть связаны со случайными
внеш. воздействиями, а также с флуктуациями внутр. параметров. Примером случайного,
хаотического процесса является броуновское движение. Динамика случайных процессов
описывается ур-ниями для физ. характеристик - координат, скоростей и др., включающими
случайные параметры (ур-ниями Ланжевена), а также ур-ниями для вероятностных
характеристик системы. Напр., если процесс марковский, то при определ. допущениях
эволюция функции распределения f случайной величины и определяется
из ур-ния Фоккера- Планка - Колмогорова:
в к-ром В и D - интегральные моменты вероятности перехода системы между разл. допустимыми
состояниями.
Случайный процесс характеризуется
такими параметрами, как среднее, дисперсия, корреляц. функция, спектральная функция.
Важным признаком случайности процесса является убывание корреляций по мере увеличения
интервала времени между сопоставляемыми наблюдениями:
Этому условию не удовлетворяют,
вообще говоря, многопериодические движения, подобные тем, к-рые описываются
ур-ниями (1), (3). Кроме того, спектральный анализ таких движений выявляет наличие
лишь конечного числа несоизмеримых частот и/или счётного (или конечного) чис-ла
кратных частот. Поэтому многопериодические движения и колебания линейных неавтономных
систем (если, конечно, внеш. "силы" не меняются стохастически) не
обладают необходимыми свойствами истинно стохастических колебаний и по отношению
к ним термины "хаотический" и "стохастический" употребляются
редко.
Сложное поведение, обладающее
основными свойствами случайного процесса, обнаруживается у мн. нелинейных динамических
систем (т. н. хаос динамический ).Качественно происхождение X. в таких
системах связывают с тем, что нелинейные системы можно рассматривать как совокупность
неск. взаимодействующих подсистем, обладающих разл. динамическими свойствами.
Хаотическая динамика возникает в результате разл. рода процессов синхронизации
колебаний указанных подсистем.
Наконец, в квантовых системах, описываемых линейным ур-нием Шрёдингера, стохастические колебания, вообще говоря, невозможны. Однако если характерные времена переходных процессов велики, может наблюдаться явление квантового X. Возможность подобного режима легко понять из того, что в классическом пределе система будет описываться нелинейными ур-ниями движения, для к-рых такая динамика известна (см. выше).
|
|
 |
