Эффективность некоторого алгоритма поиска А оценивается максимальным Max{А} и средним Avg{А} количествами сравнений, необходимых для нахождения элемента V в В. Если Pi - относительная частота использования элемента Кi в В, а Si - количество сравнений, необходимое для его поиска, то
n
Max{А} = max{ Si, i=1,n } ; Avg{А} = Pi Si .
i=1
Последовательный поиск предусматривает последовательный просмотр всех элементов списка В в порядке их расположения, пока не найдется элемент равный V. Если достоверно неизвестно, что такой элемент имеется в списке, то необходимо следить за тем, чтобы поиск не вышел за пределы списка, что достигается использованием стоппера.
Очевидно, что Max последовательного поиска равен N. Если частота использования каждого элемента списка одинакова, т.е. P=1/N, то Avg последовательного поиска равно N/2. При различной частоте использования элементов Avg можно улучшить, если поместить часто встречаемые элементы в начало списка.
Пусть во входном потоке задано 100 целых чисел К1,К2,... К100 и ключ V. Составим программу для последовательного хранения элементов Кi и поиска среди них элемента, равного V, причем такого элемента может и не быть в списке. Без использования стоппера программа может быть реализована следующим образом:
/* последовательный поиск без стоппера */
#include
main()
{
int k[100],v,i;
for (i=0;i<100;i++)
scanf("%d",&k[i]);
scanf("%d",&v);
i=0;
while(k[i]!=v && i<100) i++;
if (k[i]==v) printf("%d %d",v,i);
else printf("%d не найден",v);
}
С использованием стоппера программу можно записать в виде:
/* последовательный поиск со стоппером */
#include
main()
{
int k[101],v,i;
for (i=0;i<100;i++)
scanf("%d",&k[i]); /* ввод данных */
scanf("%d",&v);
k[100]=v; /* стоппер */
i=0;
while(k[i]!=v) i++;
if (i<100) printf ("%d %d",v,i);
else printf ("%d не найден",v);
}
2.3.2. Бинарный поиск
Для упорядоченных линейных списков существуют более эффективные алгоритмы поиска, хотя и для таких списков применим последовательный поиск. Бинарный поиск состоит в том, что ключ V сравнивается со средним элементом списка. Если эти значения окажутся равными, то искомый элемент найден, в противном случае поиск продолжается в одной из половин списка.
Нахождение элемента бинарным поиском осуществляется очень быстро. Max бинарного поиска равен log2(N), и при одинаковой частоте использования каждого элемента Avg бинарного поиска равен log2(N). Недостаток бинарного поиска заключается в необходимости последовательного хранения списка, что усложняет операции добавления и исключения элементов .
Пусть, например, во входном потоке задано 101 число, К1,К2,...,К100, V - элементы списка и ключ. Известно, что список упорядочен по возрастанию, и элемент V в списке имеется. Составим программу для ввода данных и осуществления бинарного поиска ключа V в списке К1,К2,...,К100.
/* Бинарный поиск */
#include
main()
{
int k[100],v,i,j,m;
for (i=0;i<100;i++)
scanf("%d",&k[i]);
scanf("%d",&v);
i=0; j=100; m=50;
while (k[m]!=v)
{
if (k[m] < v) i+=m;
else j=m-i;
m=(i+j)/2;
}
printf("%d %d",v,m);
}
2.3.3. М-блочный поиск
Этот способ удобен при индексном хранении списка. Предполагается, что исходный упорядоченный список B длины N разбит на M подсписков B1,B2,...,Bm длины N1,N2,...,Nm, таким образом, что B=B1,B2,..,Bm.
Для нахождения ключа V, нужно сначала определить первый из списков Bi, i=1,M, последний элемент которого больше V, а потом применить последовательный поиск к списку Bi.
Хранение списков Bi может быть связным или последовательным. Если длины всех подсписков приблизительно равны и M= N, то Max М-блочного поиска равен 2 N. При одинаковой частоте использования элементов Avg М-блочного поиска равен N.
Описанный алгоритм усложняется, если не известно, действительно ли в списке имеется элемент, совпадающий с ключом V. При этом возможны случаи: либо такого элемента в списке нет, либо их несколько.
Если вместо ключа V имеется упорядоченный список ключей, то последовательный или М-блочный поиск может оказаться более удобным, чем бинарный, поскольку не требуется повторной инициализации для каждого нового ключа из списка V.
2.3.4. Методы вычисления адреса
Методы вычисления адреса. Пусть в каждом из М элементов массива Т содержится элемент списка (например целое положительное число). Если имеется некоторая функция H(V), вычисляющая однозначно по элементу V его адрес - целое положительное число из интервала [0,M-1],то V можно хранить в массиве T с номером H(V) т.е. V=T(H(V)). При таком хранении поиск любого элемента происходит за постоянное время не зависящее от M.
Массив T называется массивом хеширования, а функция H - функцией хеширования.
При конкретном применении хеширования обычно имеется определенная область возможных значений элементов списка V и некоторая информация о них. На основе этого выбирается размер массива хеширования M и строится функция хеширования. Критерием для выбора M и H является возможность их эффективного использования.
Пусть нужно хранить линейный список из элементов K1,K2,..,Kn, таких, что при Ki=Kj, mod(Ki,26)= mod(Kj,26). Для хранения списка выберем массив хеширования T(26) с пространством адресов 0-25 и функцию хеширования H(V)= mod(V,26). Массив T заполняется элементами T(H(Ki))=Ki и T(j)=0 если j (H(K1), H(K2),..,H(Kn)).
Поиск элемента V в массиве T с присваиванием Z его индекса если V содержится в T, или -1, если V не содержится в T, осуществляется следующим образом
int t[26],v,z,i;
i=(int)fmod((double)v,26.0);
if(t[i]==v) z=i;
else z=-1;
Добавление нового элемента V в список с возвращением в Z индекса элемента, где он будет храниться, реализуется фрагментом
z=(int)fmod((doule)v,26.0);
t[z]=v;
а исключение элемента V из списка присваиванием
t[(int)fmod((double)v,26)]=0;
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда условие Ki=Kj H(Ki)=H(Kj) не выполняется. Пусть V - множество возможных элементов списка (целые положительные числа), в котором максимальное число элементов равно 6. Возьмем M=8 и в качестве функции хеширования выберем функцию H(V)=Mod(V,8).
Предположим, что B= При наличии коллизий усложняются все алгоритмы работы с массивом
хеширования. Рассмотрим работу с массивом T[100], т.е. с пространством адресов
от 0 до 99. Пусть количество элементов N не более 99, тогда в T всегда будет
хотя бы один свободный элемент равный нулю. Для объявления массива используем
оператор
Добавление в массив T нового элемента Z с занесением его адреса в I и числа
элементов в N выполняется так:
Поиск в массиве T элемента Z с присвоением I индекса Z, если Z имеется в T,
или I=-1, если такого элемента нет, реализуется следующим образом:
При наличии коллизий исключение элемента из списка путем пометки его как
пустого, т.е. t[i]=0, может привести к ошибке. Например, если из списка B
исключить элемент K2, то получим массив хеширования в виде
T=<0,K5,0,0,K4,K1,K3,0>, в котором невозможно найти элемент K4, поскольку
H(K4)=3, а T(3)=0. В таких случаях при исключении элемента из списка можно
записывать в массив хеширования некоторое значение непринадлежащее области
значений элементов списка и не равное нулю. При работе с таким массивом это
значение будет указывать на то, что нужно просматривать со средние ячейки.
Достоинство методов вычисления адреса состоит в том, что они самые быстрые,
а недостаток в том, что порядок элементов в массиве T не совпадает с их порядком
в списке, кроме того довольно сложно осуществить динамическое расширение
массива T.
Задача выбора. Задан линейный список целых, различных по значению чисел
B= Поставленная задача может быть получена из задачи поиска j-того минимального
значения заменой i=n-j+1 и поиском i-того максимального значения. Особый интерес
представляет задача выбора при i=a/n, 0<a<1, в частности, задача выбора медианы
при a=1/2.
Все варианты задачи выбора легко решаются, если список B полностью
отсортирован, тогда просто нужно выбрать i-тый элемент. Однако в результате
полной сортировки списка B получается больше информации, чем требуется для
решения поставленной задачи.
Количество действий можно уменьшить применяя сортировку выбором только
частично до i-того элемента. Это можно сделать, напри мер при помощи функции
findi
Эта функция ищет элемент с индексом i, частично сортируя массив s, и
выполняет при этом (n*i) сравнений. Отсюда следует, что функция findi приемлима
для решения задачи при малом значении i, и малоэффективна при нахождении
медианы.
Для решения задачи выбора i-того наибольшего значения в списке B модифицируем
алгоритм быстрой сортировки. Список B разбиваем элементом K1 на подсписки B' и
B", такие, что если Ki -B', то Ki>K1, и если Ki - B", то Ki<K1, и список B
реорганизуется в список B',K1,B". Если K1 элемент располагается в списке на
j-том месте и j=i, то искомый элемент найден. При j>i наибольшее значение
ищется в списке B'; при j<i будем искать (i-j) значение в подсписке B".
Алгоритм выбора на базе быстрой сортировки в общем эффективен, но для
улучшения алгоритма необходимо, чтобы разбиение списка на подсписки
осуществлялось почти пополам. Следующий алгоритм эффективно решает задачу выбора
i-того наибольшего элемента в списке B, деля его на подсписки примерно равной
величины.
1. Если N<21, то выбрать i-тый наибольший элемент списка B обычной
сортировкой.
2. Если N>21 разделим список на P=N/7 подсписков по 7 элементов в каждом,
кроме последнего в котором mod(N,7) элементов.
3. Определим список W из медиан полученных подсписков (четвертых наибольших
значений) и найдем в W его медиану M (рекурсивно при помощи данного алгоритма)
т.е. (P/2+1)-й наибольший элемент.
4. С помощью элемента M разобьем список B на два подсписка B' с j элементами
большими или равными M, и B" c N-j элементами меньшими M. При j>i повторим
процедуру поиска сначала, но только в подсписке B'. При j=i искомый элемент
найден, равен M и поиск прекращается. При j < i будем искать (i-j)-тый
наибольший элемент в списке B".
Рекурсивная функция search реализует алгоритм выбора i-того наибольшего
значения. Для ее вызова можно использовать следующую программу
Используя метод математической индукции, можно доказать, что для функции
search требуется выполнить в самом неблагоприятном случае 28*N сравнений.
Действительно, если N<21, то выполнение функции findi потребует сравнений
порядка N*(N-1)/2, т.е. меньше чем 28*N. Предположим, что для любого T<N
количество сравнений при выполнении функции search не более 28*T и подсчитаем,
сколько сравнений потребуется функции search при произвольном значении N. Для
поиска медианы в каждом из подсписков функцией findi требуется не более
7*(7-1)/2=21 сравнений, а для формирования массива W в целом не более
21*(N/7)=3*N сравнений. По предположению индукции для поиска медианы в массиве
W длины N/7 требуется 28*(N/7)=4*N сравнений. После удаления из B части
элементов с помощью медианы в B' (или в B") останется не более N*5/7 элементов,
и для удаления ненужных элементов необходимо количество сравнений порядка N. Для
поиска в оставшейся части массива (в B' или B") по предположению индукции
требуется не более 28*(N*5/7)=20*N сравнений. Таким образом, всего потребуется
3*N+4*N+N+20*N=28*N сравнений, т.е. выдвинутое предположение доказано.
Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении. Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта"). Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте. Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем. Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
T=<0,K5,0,K2,K4,K1,K3,0> .
int static t[100];
i=h(z);
while (t[i]!=0 && t[i]!=z)
if (i==99) i=0;
else i++;
if (t[i]!=z) t[i]=z, n++;
i=h(z);
while (t[i]!=0 && t[i]!=z)
if (i==99) i=0;
else i++;
if (t[i]==0) i=-1;
2.3.5. Выбор в линейных списках
/* выбор путем частичной сортировки */
int findi(int *s, int n, int i)
{
int c,j,k;
for (k=0; k<=i; k++)
for (j=k+1; j<=n; j++)
if (s[k] < s[j])
{ c=s[k];
s[k]=s[j];
s[j]=c;
}
return s[i];
}
/* алгоритм выбора делением списка почти пополам */
int search (int *b, int n, int i)
{
int findi(int *, int, int);
int t, m, j, p, s, *w;
if (n<21) return findi(b, n, i); /* шаг 1 */
p=(int)(n/7);
w=calloc(p+1,sizeof(int)); /* шаги 2 и 3 */
for (t=0; t < p; t++)
w[t]=findi(b+7*t, 7, 3);
if (n%7!=0)
{ w[p]=findi(b+7*p,n%7,(n%7)/2);
p++;
}
m=search(w, p, p/2);
free (w);
for (j=0, t=0; t < n; t++) /* шаг 4 */
if (b[t]>=m) j++;
if (j>i)
{
for (p=0, t=0; p < n; t++)
if (b[t]>=m)
{ b[p]=b[t]; p++; }
m=search(b, j, i); /* поиск в B" */
}
if (j < i)
{
for (p=0, t=0; t < n; t++)
if (b[t] < m) b[p++]=b[t];
m=search(b, n-j, i-j); /* поиск в B" */
}
return m;
}
#include
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.
