Больцмана H-теорема - одно из важных положений кинетич. теории газов, согласно
к-рому для изолиров. системы в неравновесном состоянии существует Н-функция
Больцмана, точнее - функционал, зависящий от функции распределения частиц по скоростям
и координатам и монотонно убывающий со временем. Больцмана H-теорема установлена
Л. Больцманом (L. Boltzmann) в 1872. Я-функция равна энтропии газа с обратным
знаком, делённой на k; следовательно, Больцмана H-теорема выражает закон возрастания
энтропии для изолиров. системы. В равновесном состоянии Н-функция постоянна.
Н-функция Больцмана
для газа равна
где 
- функция распределения частиц по скоростям и координатам, удовлетворяющая кинетическому
уравнению Больцмана, h(x,t) - пространственная плотность Н-функции,
имеющая смысл локальной плотности энтропии с обратным знаком. Скорость изменения
Н-функции со временем равна
Согласно Больцмана H-теореме, для изолиров. системы 
, что следует из равенства (2), если в него подставить 
из кинетич. ур-ния Больцмана и симметризовать полученное выражение относительно
функций распределения сталкивающихся частиц при прямом и обратном соударении.
В общем случае для вывода Больцмана H-теоремы нужно использовать детального равновесия
принцип.
В пространственно-неоднородных
огранич. системах необходимы граничные условия для функции распределения на поверхности
системы. В этом случае справедливо ур-ние баланса энтропии:
где S - плотность
потока энтропии, G - локальное производство энтропии с обратным
знаком. Следовательно, Больцмана H-теорема есть следствие положительности
производства энтропии в неравновесной термодинамике, т. к. для изолиров. системы
суммарный поток энтропии через поверхность равен нулю.
Больцмана H-теорема справедлива для всех форм кинетич. ур-ния Больцмана.
Против Больцмана H-теоремы был выдвинут ряд возражений:
Лошмидт заметил, что каждому движению молекул газа с убыванием H соответствует
движение с увеличением H. Парадокс возврата основан на Пуанкаре теореме о
возвратах. В ответ на эти возражения Больцман выдвинул статистич. толкование
Больцмана H-теоремы, поскольку она не является следствием одних лишь ур-ний механики, а
использует предположение о "молекулярном хаосе", имеющее вероятностный
характер. Согласно Больцману, энтропия, а следовательно и Н-функция,
есть мера вероятности пребывания системы в неравновесном состоянии: убывание
Н означает стремление системы к переходу из менее вероятного в более
вероятное состояние .
Более совр. вывод кинетич.
ур-ния Больцмана позволяет лучше понять причину появления необратимости в ур-нии
Больцмана, несмотря на то, что оно выводится из обратимых ур-ний механики. Необратимость
(и убывание Н-функции) связывается с отбором таких решений ур-ния Лиувилля,
к-рые соответствуют сокращённому, неполному описанию неравновесного состояния
системы с помощью одночастичной функции распределения и заданию граничного условия
для корре-ляц. функций, имеющего вероятностный характер в отдалённом прошлом (принцип
ослабления корреляций; см. Боголюбова уравнения).
Убывание Н-функции
(рост энтропии) соответствует возрастанию хаоса в системе, что связано с неустойчивостью
фазовых траекторий мн. механич. систем относительно изменения нач. условий:
малые изменения нач. условий приводят к большим отклонениям фазовых траекторий
(эффект перемешивания). Перемешивание приводит к стохастизации, в динамич. теории
траектории становятся непредсказуемыми. Для макроскопич. систем в обычных условиях
этот эффект не наблюдается, т. к. макроскопич. наблюдение подразумевает нек-рое
сглаживание (определяется лишь небольшое число параметров системы, гораздо меньше,
чем число механич. нач. условий).
Д. H. Зубарев
|
|
 |
