Геодезическая линия. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Геодезическая линия

Геодезическая линия (от греч. gеоdaisia, букв.- деление Земли) - геом. понятие, обобщающее представление о прямой линии в евклидовом пространстве на случай пространств более общего вида (искривлённых поверхностей в евклидовом пространстве, римановых пространств, дифференцируемых многообразий с линейной связностью и т. п.). Конкретное определение геодезической линии зависит от геометрической структуры рассматриваемого пространства. В случае дифференцируемых многообразий с линейной связностью геодезической линии - кривая

, вдоль к-рой касательный вектор

переносится параллельно (

=1,2, . . ., N, где N - размерность пространства). При спец. выборе параметра

(аффинный параметр на геодезической линии) условие параллельного переноса

принимает вид

где точкой с запятой обозначена ковариантная производная .С помощью коэф. связности ур-ние (1) переписывается в форме

В римановом пространстве с метрикой g_mn и элементом длины

коэф. связности (Кристоффеля символы)выражаются через след. образом:

В этом случае локально эквивалентное определение геодезической линии можно ввести с помощью вариац. принципа. Под геодезической линией, соединяющей точки P₁ и P₂ риманова пространства, понимается кривая экстремальной длины. Условие экстремальности функционала

записывается в виде ур-ния Эйлера - Лагранжа

что с учётом соотношения (3) эквивалентно условию параллельного переноса касательного вектора (2). T. о., в малой области риманова пространства геодезическая линии является не только "прямейшей", но и кратчайшей кривой между двумя точками. Аналогично определяются геодезические линии на искривлённых поверхностях, вложенных в евклидово пространство большей размерности. Поведение геодезической линии в римановом пространстве аналогично поведению прямых в евклидовом пространстве лишь в малой области. При сравнении с кривыми, не близкими к данной геодезической линии, последняя может и не быть кратчайшей.

Понятие геодезической линии используется в физ. теориях. Так, движение консервативной механич. системы с конечным числом степеней свободы описывается геодезической линией в некотором специально подобранном римановом пространстве. Аналогичным образом можно описать распространение световых лучей в среде с показателем преломления, зависящим от координат.

В псевдоримановом пространстве общей теории относительности (ОТО) существуют геодезические линии трёх типов: времениподобные

, изотропные, или нулевые

, и пространственноподобные (

<0,

=0, 1, 2, 3). Времениподобные геодезические линии являются мировыми линиями пробных точечных частиц с отличной от нуля массой покоя, движущихся в гравитац. поле, определяющем метрику пространства-времени

. Времениподобные геодезические линии соответствуют максимуму длины кривой. Изотропные геодезические линии соответствуют движению фотонов и др. безмассовых частиц. Пространственноподобные геодезические линии не соответствуют движению реальных частиц, однако они важны для понимания геом. свойств самого пространства-времени. Второй член в ур-нии (2) для геодезической линии в контексте ОТО можно интерпретировать как гравитац. силу, действующую на материальную точку. В силу эквивалентности тяготения и инерции эта величина не имеет тензорного характера и может быть обращена в пуль вдоль нек-рой кривой спец. выбором системы координат (свободно падающая система отсчёта). При этом взаимное положение двух близких геодезических линий не зависит от системы координат и может быть использовано для описания "истинного" действия гравитац. поля. Для двух близких геодезических линий

из (2) получим

где

- абс. производная,

- кривизны тензор .T. о., хотя свободно падающая в гравитац. поле частица покоится в падающей вместе с ней системе отсчёта, другая, близкая к ней частица движется относительно первой. Этот пример иллюстрирует локальный характер принципа эквивалентности сил тяготения и инерции.

Ряд свойств геодезических линий в пространстве-времени ОТО удаётся получить, используя ур-ния Эйнштейна совместно с нек-рыми предположениями относительно свойств создающей гравитац. поле материи. Напр., если плотность энергии неотрицательна во всех физически допустимых системах отсчёта, то поперечное сечение пучка геодезических линий S

( - аффинный параметр вдоль пучка) удовлетворяет условию . Отсюда следует, что если в нек-рой точке производная стала отрицательной, то через конечный промежуток значений сечение S обратится в нуль (фокальная точка). Подобные рассуждения лежат в основе т. н. теорем о сингулярностях Хокинга - Пенроуза.

Литература по геодезическим линиям

Громол Д., Клингенберг В., Mейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., M., 1971;
Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени, пер. с англ., M., 1977;
Mизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, пер. с англ., т. 1-3, M., 1977;
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., M., 1985;
Кобаяси Ш., Hомидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1-2, M., 1981.

Д. В. Гольцов

к библиотеке к оглавлению FAQ по эфирной физике ТОЭЭ ТЭЦ ТПОИ ТИ

Знаете ли Вы, что cогласно релятивистской мифологии "гравитационное линзирование - это физическое явление, связанное с отклонением лучей света в поле тяжести. Гравитационные линзы обясняют образование кратных изображений одного и того же астрономического объекта (квазаров, галактик), когда на луч зрения от источника к наблюдателю попадает другая галактика или скопление галактик (собственно линза). В некоторых изображениях происходит усиление яркости оригинального источника." (Релятивисты приводят примеры искажения изображений галактик в качестве подтверждения ОТО - воздействия гравитации на свет)
При этом они забывают, что поле действия эффекта ОТО - это малые углы вблизи поверхности звезд, где на самом деле этот эффект не наблюдается (затменные двойные). Разница в шкалах явлений реального искажения изображений галактик и мифического отклонения вблизи звезд - 10¹¹ раз. Приведу аналогию. Можно говорить о воздействии поверхностного натяжения на форму капель, но нельзя серьезно говорить о силе поверхностного натяжения, как о причине океанских приливов.
Эфирная физика находит ответ на наблюдаемое явление искажения изображений галактик. Это результат нагрева эфира вблизи галактик, изменения его плотности и, следовательно, изменения скорости света на галактических расстояниях вследствие преломления света в эфире различной плотности. Подтверждением термической природы искажения изображений галактик является прямая связь этого искажения с радиоизлучением пространства, то есть эфира в этом месте, смещение спектра CMB (космическое микроволновое излучение) в данном направлении в высокочастотную область. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира