Геодезическая линия. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Геодезическая линия

Геодезическая линия (от греч. gеоdaisia, букв.- деление Земли) - геом. понятие, обобщающее представление о прямой линии в евклидовом пространстве на случай пространств более общего вида (искривлённых поверхностей в евклидовом пространстве, римановых пространств, дифференцируемых многообразий с линейной связностью и т. п.). Конкретное определение геодезической линии зависит от геометрической структуры рассматриваемого пространства. В случае дифференцируемых многообразий с линейной связностью геодезической линии - кривая

, вдоль к-рой касательный вектор

переносится параллельно (

=1,2, . . ., N, где N - размерность пространства). При спец. выборе параметра

(аффинный параметр на геодезической линии) условие параллельного переноса

принимает вид

где точкой с запятой обозначена ковариантная производная .С помощью коэф. связности ур-ние (1) переписывается в форме

В римановом пространстве с метрикой g_mn и элементом длины

коэф. связности (Кристоффеля символы)выражаются через след. образом:

В этом случае локально эквивалентное определение геодезической линии можно ввести с помощью вариац. принципа. Под геодезической линией, соединяющей точки P₁ и P₂ риманова пространства, понимается кривая экстремальной длины. Условие экстремальности функционала

записывается в виде ур-ния Эйлера - Лагранжа

что с учётом соотношения (3) эквивалентно условию параллельного переноса касательного вектора (2). T. о., в малой области риманова пространства геодезическая линии является не только "прямейшей", но и кратчайшей кривой между двумя точками. Аналогично определяются геодезические линии на искривлённых поверхностях, вложенных в евклидово пространство большей размерности. Поведение геодезической линии в римановом пространстве аналогично поведению прямых в евклидовом пространстве лишь в малой области. При сравнении с кривыми, не близкими к данной геодезической линии, последняя может и не быть кратчайшей.

Понятие геодезической линии используется в физ. теориях. Так, движение консервативной механич. системы с конечным числом степеней свободы описывается геодезической линией в некотором специально подобранном римановом пространстве. Аналогичным образом можно описать распространение световых лучей в среде с показателем преломления, зависящим от координат.

В псевдоримановом пространстве общей теории относительности (ОТО) существуют геодезические линии трёх типов: времениподобные

, изотропные, или нулевые

, и пространственноподобные (

<0,

=0, 1, 2, 3). Времениподобные геодезические линии являются мировыми линиями пробных точечных частиц с отличной от нуля массой покоя, движущихся в гравитац. поле, определяющем метрику пространства-времени

. Времениподобные геодезические линии соответствуют максимуму длины кривой. Изотропные геодезические линии соответствуют движению фотонов и др. безмассовых частиц. Пространственноподобные геодезические линии не соответствуют движению реальных частиц, однако они важны для понимания геом. свойств самого пространства-времени. Второй член в ур-нии (2) для геодезической линии в контексте ОТО можно интерпретировать как гравитац. силу, действующую на материальную точку. В силу эквивалентности тяготения и инерции эта величина не имеет тензорного характера и может быть обращена в пуль вдоль нек-рой кривой спец. выбором системы координат (свободно падающая система отсчёта). При этом взаимное положение двух близких геодезических линий не зависит от системы координат и может быть использовано для описания "истинного" действия гравитац. поля. Для двух близких геодезических линий

из (2) получим

где

- абс. производная,

- кривизны тензор .T. о., хотя свободно падающая в гравитац. поле частица покоится в падающей вместе с ней системе отсчёта, другая, близкая к ней частица движется относительно первой. Этот пример иллюстрирует локальный характер принципа эквивалентности сил тяготения и инерции.

Ряд свойств геодезических линий в пространстве-времени ОТО удаётся получить, используя ур-ния Эйнштейна совместно с нек-рыми предположениями относительно свойств создающей гравитац. поле материи. Напр., если плотность энергии неотрицательна во всех физически допустимых системах отсчёта, то поперечное сечение пучка геодезических линий S

( - аффинный параметр вдоль пучка) удовлетворяет условию . Отсюда следует, что если в нек-рой точке производная стала отрицательной, то через конечный промежуток значений сечение S обратится в нуль (фокальная точка). Подобные рассуждения лежат в основе т. н. теорем о сингулярностях Хокинга - Пенроуза.

Литература по геодезическим линиям

Громол Д., Клингенберг В., Mейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., M., 1971;
Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени, пер. с англ., M., 1977;
Mизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, пер. с англ., т. 1-3, M., 1977;
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., M., 1985;
Кобаяси Ш., Hомидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1-2, M., 1981.

Д. В. Гольцов

к библиотеке к оглавлению FAQ по эфирной физике ТОЭЭ ТЭЦ ТПОИ ТИ

Знаете ли Вы, что такое "Большой Взрыв"?
Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии "Большой взрыв (англ. Big Bang) - это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно - начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения..."
В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею.
На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве.
Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как "взрыв" - понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых.
Во-вторых, Вселенная - это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной).
В третьих, фраза "представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва" тоже есть сплошной нонсенс.
Что могло быть "вблизи Большого взрыва", если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира