Дебая теория твёрдого тела - теория, описывающая колебания кристаллич. решётки и обусловленные ими
термодинамич. свойства твёрдого тела; предложена П. Дебаем в 1912 в связи с
задачей о теплоёмкости кристалла. Д. т. основана на упрощённом представлении
твёрдого тела как изотропной упругой среды, атомы к-рой совершают колебания
в конечном диапазоне частот.
Кристаллич. решётка, состоящая
из N элементарных ячеек по v атомов в каждой, имеет
колебат. степеней свободы. С механич. точки зрения, такую систему можно описывать
как совокупность
независимых осцилляторов, каждый из к-рых соответствует
отд. нормальному колебанию системы (см. Колебания кристаллической решётки). Вычисление статистической суммы и, следовательно, термодинамич. функций
такой системы в общем виде невозможно, т. к. результат существенно зависит от
конкретного распределения частот по спектру колебаний твёрдого тела, т. е. от
плотности колебат. состояний
, где
- частота колебаний. Однако в предельном случае низких температур задача упрощается,
т. к. возбуждаются только колебания низких частот (
, T - абс. темп-pa). Они представляют собой звуковые волны с линейным
законом дисперсии:
для продольных и для
поперечных волн (
- продольная и поперечная скорости распространения волн, k - волновое
число). T. о., при низких темп-pax дискретная структура кристаллич. решётки
не проявляется.
Плотность колебат. состояний,
т. е. число собственных колебаний в интервале частот от
до в спектре
звуковых волн, равна:
где V - объём тела,
- усредненная
скорость звука, к-рая для изотропного тела определяется соотношением:
В случае анизотропных кристаллов
закон усреднения изменяется, он требует решения задачи теории упругости о распространении
звука в кристалле данной симметрии. Зависимость же плотности g от частоты
(1) сохраняется.
В предельном случае высоких
температур ( , где
а - постоянная решётки) возбуждены все колебат.
степеней свободы и на каждую приходится энергия kT (закон равнораспределения).
В обоих предельных случаях статистич. сумма и термодинамич. функции кристаллич.
решётки могут быть вычислены.
Д. т. представляет собой
интерполяцию между этими предельными случаями. Она предполагает, что для всех
нормальных колебаний
имеет место линейный закон дисперсии и плотность колебат. состояний описывается
ф-лой (1), что в действительности справедливо лишь для малых частот. Спектр
колебаний начинается от =0
и обрывается на т. н. частоте Дебая
, к-рая определяется условием равенства полного числа колебаний числу степеней
свободы :
откуда
Плотность колебат. состояний
в Д. т. можно записать в виде:
Все термодинамич. функции
в Д. т. могут быть выражены через т. н. функцию Дебая:
Свободная энергия F, энтропия S, внутр. энергия
и теплоёмкость при пост. объёме CV определяются ф-лами:
где -энергия
нулевых колебаний атома в решётке,
, -Дебая температура, выше к-рой возбуждены все моды кристалла, а ниже к-рой нек-рые моды начинают
"вымерзать".
Согласно Д. т., теплоёмкость
твёрдого тела есть функция отношения
. В предельных случаях высоких температур
и низких температур
из ф-лы (9) получаются соответственно Дюлонга и Пти закон и Дебая
закон теплоёмкости:
Критерием применимости
предельных законов для теплоёмкости является соотношение между T и
; теплоёмкость можно
считать постоянной при
и пропорциональной Т3 при
(рис.). Д. т. хорошо передаёт температурную зависимость термодинамич. функций,
в частности теплоёмкости, лишь для тел с простыми кристаллич. решётками, т.
е. для большинства элементов и ряда простых соединений, напр. галоидных солей.
К телам с более сложной структурой она фактически неприменима из-за сложности
спектра колебаний решётки. Так, у сильно анизотропных кристаллов, в частности
у слоистых (квазидвумерных) и цепочечных (квазиодномерных) структур, спектр
звуковых колебаний характеризуется не одной, а неск. дебаевскими температурами.
Закон T3 для теплоёмкости имеет место лишь при темп-pax, малых
по сравнению с наименьшей из дебаевских температур, в промежуточных областях возникают
новые предельные законы. Термодинамич. функции таких кристаллов помимо отношения
зависят также
от параметра, характеризующего относит. величину энергии связи между слоями
(цепочками) атомов по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое
(цепочке).
При рассмотрении решётки
с полиатомным базисом (больше 1 атома в узле) существенны оптич. колебания,
частота к-рых слабо зависит от k, и поэтому здесь лучше применима теория
теплоёмкости Эйнштейна, в к-рой всем колебаниям приписывается одна и та же частота
. При этом теплоёмкость
кристалла
где-
темп-pa Эйнштейна, определяемая равенством:
При температуре
каждая оптич. мода даёт пост. вклад k/V в уд. теплоёмкость в соответствии
с законом Дюлонга и Пти. При этот
вклад экспоненциально падает.
Э. M. Эпштейн