к библиотеке к оглавлению FAQ по эфирной физике ТОЭЭ ТЭЦ ТПОИ ТИ

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

Метод максимального правдоподобия

Максимального правдоподобия метод - метод оценивания неизвестных параметров для распределения случайной величины c по наблюдению её реализаций при параметрич. анализе данных. M. п. м. был предложен P. Э. Фишером (R. A. Fisher) в 1912 и формулируется след, образом. Пусть плотность вероятности величины х есть где - вектор неизвестных параметров. Определим функцию правдоподобия выражением

к-рое в отличие от плотности вероятности рассматривают как функцию вектора а при заданном векторе c реализовавшихся значений. Оценкой M. п. м. паз. вектор отвечающий максимуму выражения (1) и принадлежащий допустимой области значений Часто ищут максимум выражения что упрощает задачу поискадля экспоненциальных распределений. Идея M. п. м. заключается в том, что данная реализация вектора должна отвечать наиболее вероятному значению, а потому при заданном выражение должно принимать макс, значение. Напр., время жизни г нестабильных частиц подчиняется распределению где- неизвестный параметр, характерный для каждой частицы. Пусть измерены времена жизнидля N распадов. Если пренебречь ошибками измерений то функция правдоподобия равна

Оценка M. п. м.получается из решения ур-ния правдоподобия

и равна

С M. п. м. связано неравенство Крамера - Рао: дисперсия D (а)оценки параметра а, полученной любым методом, удовлетворяет неравенству

где

наз. смещением оценки

наз. кол-вом информации во параметре а. В случае вектора параметровнеравенство (2) обобщается след, образом. Если ввести ср. значения

ковариационную матрицу

матрицуи информац. матрицу

то справедливо неравенство

где I -единичная матрица, т означает транспонирование. Если оценки являются несмещёнными, то для дисперсийкак это следует из (3), выполняется неравенство

Неравенство Крамера - Рао полезно тем, что позволяет ещё на стадии планирования эксперимента оценить достижимую точность "измерения" параметров изучаемых распределений.

При нек-рых ограничениях на можно показать, что оценка M. п. м. состоятельна, т. е. при один из корней ур-ния правдоподобия, стремится к точному значению а. Оценка M. п. м. асимптотически распределена по нормальному закону с нулевым ср. значением и дисперсией, равной .

При конечных N оценка M. п. м., вообще говоря, является смещённой. Оптим. свойством оценки M. п. м. при конечных N оказывается то, что при нек-рых условиях достигает нижней границы, задаваемой неравенством Крамера - Рао (2). В общем случае свойства оценки M. п. м. можно изучить при помощи Монте-Карло метода: задавая значение a из области возможных значений, получают выборку находят оценкуи строят её среднее значение и ковариационную матрицу. Другое оптимальное свойство оценки M. п. м.: оценкафункции /(а) равна. В этом её преимущества перед оценкой по наименьших квадратов методу.

Литература по методу максимального правдоподобия

Клепиков H. П., Соколов С. H., Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия, M., 1964;
Pао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., M., 1968;
Кендал л M., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., M., 1973;
Статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., M., 1976.

В. П. Жигунов

к библиотеке к оглавлению FAQ по эфирной физике ТОЭЭ ТЭЦ ТПОИ ТИ

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира