=
;
а < 0 (а) и а > 0 (б).
Равновесия состояние динамической системы - состояние динамической системы, к-рое не изменяется во времени. Состояние равновесия динамической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразлично-устойчивым. Движение системы вблизи равновесия (при малом от него отклонении) существенно различается в зависимости от характера (типа) состояния равновесия динамической системы. В случае систем с одной степенью свободы, если состояние равновесия динамической системы устойчиво, то при малом возмущении (отклонении) система возвращается к нему, совершая затухающие колебания (на фазовой плоскости такому движению соответствует устойчивый фо-кус - рис. 1, а)или двигаясь апериодически (устойчивый узел - рис. 2, а). Вблизи неустойчивого состояния равновесия динамической системы малые отклонения системы нарастают, при этом система совершает колебания (неустойчивый фокус - рис. 1, б)или движется апериодически (неустойчивый узел - рис. 2, б); вблизи седлового состояния равновесия динамической системы (рис. 3) возможно вначале приближение к состоянию равновесия динамической системы, а затем уход от него. Наконец, в случае безразлично-устойчивого состояния равновесия динамической системы ("центр", рис. 4) малые отклонения приводят к незатухающим колебаниям вблизи состояния равновесия динамической системы. Для систем с неск. степенями свободы движение системы вблизи состояния равновесия динамической системы может быть более сложным и существенно зависит от характера начального отклонения.
Рис. 1. Поведение траекторий в окрестности устойчивого
(а) и неустойчивого (б) фокусов; здесь n = 2, =;
а < 0 (а) и а > 0 (б).
Рис. 2. Траектории в окрестности устойчивого
(а) и неустойчивого (б) узлов; l2 < l1
< О (а), 0 < l2 < l1
(6).
Рис. 3. Состояние равновесия типа "седло".
рис. 4. Замкнутые траектории в
окрестности точки типа "центр".
Движение динамич. системы вблизи состояния равновесия динамической системы чаще всего
описывается линеаризов. ур-ниями, имеющими решение в виде сумм экспонент 
с комплексными (в общем случае) характеристич.
показателями li - корнями характеристич. ур-ния:
det(A-lE)=0, где
а Xi - правая часть дифференц. ур-ний,
описывающих исследуемую систему:
х* - решение, отвечающее равновесию,
Х(х*)= 0. Если Relk < 0 (Relk
> 0), то состояние равновесия динамической системы асимптотически устойчиво (неустойчиво) и через все точки в
окрестности х* проходят траектории, стремящиеся к x* при t : , (t : -,),- рис. 1.
Если Relk < 0, k=1,...,
т, Relk> 0, j = = т + 1, ..., n,
то состояние равновесия динамической системы - "седло"; траектории, стремящиеся к нему при t :
, (t : -,), лежат на устойчивом (неустойчивом) многообразии
- многомерной сепаратрисе размерности т (п - т) - рис. 5.
Рис. 5. "Седло" в трёхмерном фазовом
пространстве; l2 < < l1 < 0, l3
> 0; WS - двумерное устойчивое, WU -
одномерное неустойчивое многообразия.
В консервативных (в частности, гамильтоновых)
динамич. системах устойчивыми (по Ляпунову) могут быть лишь
состояния равновесия динамической системы чисто мнимыми
или нулевыми lk, . Например, незатухающие колебания шарика
в "потенциальной яме" (рис. 4) описываются движением точки по замкнутой
траектории в окрестности состояния равновесия динамической системы типа "центр", для к-рого
Если динамич. система зависит от параметра, то (даже и в неконсервативном случае) при его изменении Relk может обратиться в нуль, и тогда состояние равновесия динамической системы может претерпевать бифуркации, связанные с потерей (приобретением) устойчивости или с изменением размерности его сепаратрис (см. также Устойчивость движения).
В. С. Афраймович, М. И. Рабинович
|
|
 |
