(1). Данное руководство содержит исходный код работающей программы для вычисления БПФ, подробное объяснение принципа ее работы и теоретическое обоснование. Все это можно найти и на других ресурсах, но трудно найти именно в таком комплекте: и программа, и объяснения, и теория, и на русском языке.
Если у вас нет времени и желания разбираться с теорией, то можете сразу скопировать текст программы на C++. Здесь находится заголовочный файл fft.h и исходник fft.cpp для быстрого преобразования Фурье для числа отсчетов, равного степени двойки. Вызывать надо функцию fft. А здесь находится заголовочный файл и исходник для произвольного (!) числа отсчетов. Он чуть медленнее, но скорость там тоже порядка Nlog2N. Вызывать надо функцию universal_fft.
Дана конечная последовательность x0, x1, x2,...,xN-1 (в общем случае комплексных). Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности X0, X1, X2,...,XN-1 элементы которой вычисляются по формуле:
(1).
Дана конечная последовательность X0, X1, X2,...,XN-1 (в общем случае комплексных). Обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности x0, x1, x2,...,xN-1 элементы которой вычисляются по формуле:
(2).
Основным свойством этих преобразований (которое доказывается в соответствующих разделах математики) является тот факт, что из последовательности {x} получается (при прямом преобразовании) последовательность {X}, а если потом применить к {X} обратное преобразование, то снова получится исходная последовательность {x}.
Величина
называется поворачивающим множителем.
Рассмотрим ряд свойств поворачивающих множителей, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Верхняя цифра в поворачивающем множителе не является индексом, это - степень. Поэтому, когда она равна единице, мы не будем ее писать:
Прямое преобразование Фурье можно выразить через поворачивающие множители. В результате формула (1) примет вид:
(3).
Эти коэффициенты действительно оправдывают свое название. Нарисуем на комплексной плоскости любое комплексное число, в виде вектора, исходящего из начала координат. Представим это комплексное число в показательной форме: rejφ, где r - модуль числа, а φ - аргумент. Модуль соответствует длине вектора, а аргумент - углу поворота:
Теперь возьмем какой-нибудь поворачивающий множитель 
. Его модуль равен единице, а фаза - 2π/N. Как известно, при умножении комплексных чисел, представленных в показательной форме, их модули перемножаются, а аргументы суммируются. Тогда умножение исходного числа на поворачивающий множитель не изменит длину вектора, но изменит его угол. То есть, произойдет поворот вектора на угол 2π/N (см. предыдущий рисунок).
Если теперь посмотреть на формулу (3), то станет ясен геометрический смысл преобразования Фурье: он состоит в том, чтобы представить N комплексных чисел-векторов из набора {x}, каждое в виде суммы векторов из набора {X}, повернутых на углы, кратные 2π/N.
|
|
 |
