Размешивание (перемешивание) в фазовом пространстве. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Размешивание (перемешивание) в фазовом пространстве - свойство потока траекторий консервативной динамической системы, достаточное для перехода этой системы в процессе её временной эволюции к стохастич. поведению.

Поток траекторий динамической системы не уходит на бесконечность, и движение происходит в нек-рой ограниченной области D объёмом V_D фазового пространства, тогда формально Р. выражается существованием предела

где А, В - две произвольные (как правило, малые) области, принадлежащие D, m(А), m(В)- их меры (B простейшем случае - относит. объёмы этих областей). Обычно область В предполагается фиксированной, а область А эволюционирует во времени в соответствии с Гамильтона уравнениями, A_t - значение А в момент времени t, область A_t

В является пересечением областей A_t и В. Для консервативных систем m(A_t) = = m(A) (т. н. инвариантность меры, см. также Лиувил-ля теорема). Р. означает, что независимо от размеров, формы и взаимного расположения областей А а В по прошествии достаточно длительного времени элементы области А могут быть обнаружены в любой сколь угодно малой окрестности произвольной точки области D (рис. 1).

Рис. 1. Эволюция области А в случае размешивания.

Термин "Р." введён Дж. У. Гиббсом (J. W. Gibbs, 1902) по аналогии между движением системы взаимодействующих частиц в фазовом пространстве и перемешиванием жидкостей ("растворителя" и "красителя"). При этом жидкости рассматриваются как непрерывные среды, неразрывные и несжимаемые; реальные молекулярная структура и диффузия не учитываются. Если в нач. момент жидкости не были перемешаны, то при любом возмущении (встряхивание, взбалтывание и др.) такая система с течением времени станет практически однородно перемешанной (рис. 2).

Доказано, что из Р. следует эргодичность системы (см. Эргодическая гипотеза ),однако обратное утверждение неверно. Эргодичность обеспечивает допустимость использования статистических средних лишь в смысле среднего по времени, тогда как при Р. это справедливо и асимптотически. Эргодичность (без Р.) соответствует регулярному квазипериодическому заполнению фазового пространства траекториями, Р.- хаотическому (рис. 3).

Рис. 3. Различие между эргодическим движением без размешивания (а) и движением с размешиванием (б).

Выполнение условия (1) строго доказано лишь для нек-рых динамич. систем с малым числом степеней свободы. Предполагается, что Р. характерно для мн. систем и отражает общее свойство неустойчивости (раз-бегания) фазовых траекторий по отношению к малым возмущениям нач. условий. Р. обусловливает непредсказуемость и необратимость поведения динамич. системы (хаос динамический). Р. соответствует представлению о характере движений в сложной динамич. системе, требующем перехода к статистич. описанию, но не даёт строгого обоснования применимости методов статистич. механики.

Важнейшим следствием существования Р. является расцепление временных корреляций, т. е. выполнение условия

где

- корреляц. функция динамич. переменных f и g,

- их статистические средние. Свойство (2) означает, что система, обладающая Р., со временем "забывает" о своих нач. условиях и корреляциях.

Литература по размешиванию (перемешиванию) в фазовом пространстве

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.