Электрон-фононное взаимодействие - взаимодействие между двумя подсистемами квазичастиц
в твёрдых телах, а именно, носителями заряда (блоховскими электронами в
металлах, полупроводниках и диэлектриках или дырками в этих веществах) и тепловыми
колебаниями кристаллич. решётки твёрдых тел - фоноиами. Конкретный вид
гамильтониана Э--ф. в. зависит от структуры кристалла, числа носителей заряда,
характера зонного спектра и особенностей колебаний кристаллич. решётки.
Введение. В идеальной кристаллич. решётке все атомы или ионы узлов расположены строго периодически
в пространстве и не двигаются (их можно считать "замороженными").
Однако даже при температуре
абс. нуля ионы совершают нулевые колебания. При темп-pax, отличных от нуля,
возникают хаотич.
тепловые колебания ионов узлов решётки (см. Колебания кристаллической решётки). Рост температуры приводит в металлах к росту числа фононов и увеличению сопротивления
току, что хорошо наблюдается в чистых металлах в нормальном состоянии. В полупроводниках
рост температуры также приводит к росту числа носителей заряда. Э--ф. в. оказывает
существ. влияние на явления переноса в этих веществах, а также приводит к междолинным
механизмам рассеяния электронов, ослаблению ультразвука, фононному увлечению
и др. Кроме того, в кристаллич. решётках имеются отклонения от идеальности (см.
Дефекты в к р и с т а л л а х), такие, как дислокации, межузельные атомы
той же природы, что и осн. решётка, вакантные узлы, примесные атомы внедрения
в междоузлиях и замещение атомов в узлах решётки посторонними атомами.
Квантовомеханич. теория
Блоха движения электронов в идеальной замороженной кристаллич. решётке сводит
сложную многоэлектронную проблему к задаче о движении отд. электрона под действием
строго периодич. потенциала. Волновая функция Блоха, определяющая это движение
электрона, представляет собой модулированную с периодом идеальной решётки плоскую
волну
где n-дискретный
номер энергетич. зоны, k - квазиволновой вектор, определённый
с точностью до вектора обратной решётки К. Собственные значения
энергии Еn (k)также зависят от этих двух квантовых
чисел n и k. Если кристалл имеет ограниченные размеры, то векторы
k квазидискретные.
Поведение электронов или
дырок в кристалле имеет особенно простой вид на краю изотропных зон, когда возможно
использование т. н. приближения эфф. массы:
Существенно, что величина
k
является не импульсом, а квазиимпульсом, и все законы сохранения квазиимпульса
в процессах столкновения квазичастиц выполняются лишь с точностью до 
К.
Процессы, в к-рых векторы обратной решётки не участвуют, наз.
нормальными, а те, в к-рых 
К
участвуют,- процессами переброса Пайерлса или u-процессами. Эти
процессы имеют важное значение для установления термодинамич. равновесия в электрическом
поле; в частности, электрон-электронные столкновения определяют электро- и теплопроводность
кристаллов (см. Межэлектронное рассеяние).
T. о., в строго периодич.
поле кристалла электроны и дырки на краю энергетич. зон ведут себя как свободные
заряж. частицы с эфф. массой т. Под действием электрич. поля это привело
бы к линейно возрастающей со временем скорости их трансляционного движения и
к сколь угодно большим электрич. токам. Однако существуют тормозящие силы, действующие
на носители тока в кристалле и ограничивающие их скорости. Причиной торможения
являются процессы рассеяния электронов на всех отклонениях от идеальности кристаллич.
решётки, так что протекание тока в кристалле сопровождается сопротивлением.
Особого рассмотрения требует
явление сверхпроводимости, при к-ром наблюдается устойчивое к нарушениям
решётки квантовое макроскопич. движение электронов. В нормальном, т. е. несверхпроводящем,
состоянии вещества протекание электрич. тока всегда сопровождается сопротивлением,
к-рое существенно зависит от температуры. Одной из причин такой зависимости является
увеличение амплитуды тепловых колебаний ионов с ростом температуры T и усилением
столкновений электронов с ними.
Колебания кристаллической
решётки. Методы описания колебаний кристаллич. решётки вследствие тепловых
движений ионов, находящихся в её узлах, основаны на разложении в ряд Тейлора
потенц. энергии решётки U(... Rnj...)по степеням малых
смещений unj ионов из их положения равновесия Rnj=R0nj+unj; здесь п = п1а + п2b
+ п3с - вектор, определяющий положение элементарной
ячейки кристалла.
Предполагается, что таких ячеек в кристалле N и в каждой ячейке имеется
v ионов, положение к-рых в данной ячейке определяется векторами j.
Векторы a, b, с определяют постоянные решётки
по трём направлениям.
Разложение величины U по степеням смещений unj содержит гармонические,
т. е. квадратичные, а также ангармонические- кубические и более высокие формы
по этим векторам с соответствующими коэф. упругости. Простейшее приближение
является квадратичным (см. Динамика кристаллической решётки ).Оно диагонализуется
в нормальных координатах, что приводит к определению 3v ветвей частот
wa(k) и ортов, определяющих направления нормальных
колебаний системы. T. к. каждая величина k принимает N дискретных
значений, то в гармонич. приближении имеем дело с 3vN независимыми гармонич.
осцилляторами, описывающими в данном приближении колебания кристаллич. решётки.
Энергия независимых осцилляторов имеет вид
где a нумерует 3v
ветвей спектра колебаний решётки, 
wa(k)- квант энергии колебаний кристаллич. решётки
- фонон. Каждый фонон обладает квазиимпульсом 
k
и энергией 
wa(k).
Набор собств. частот колебаний решётки определяется только упругими свойствами
решётки и массами атомных ядер.
Из 3v ветвей
колебаний имеются З а к у с т и ч е с к и е, при к-рых смещения ионов элементарной
ячейки происходят в фазе и элементарная ячейка смещается как единое целое. Эти
колебания сопровождаются локальными сжатиями и разрежениями. При k
= 0 частоты этих колебаний равны нулю. Если атомы элементарной ячейки смещаются
в про-тивофазе, то они оставляют центр масс ячейки в покое, но вызывают смещение
центров тяжести зарядов и сопровождаются появлением дипольного электрич. момента.
Эти колебания оказываются оптически активными и наз. о пт и ч е с к и м и колебаниями.
Соответствующие кванты наз. оптич. фононами: число их видов равно 3(v-1),
причём при k = 0 энергии этих фононов не равны нулю.
T. о., в гармонич. приближении
колеблющаяся кристаллич. решётка заменяется набором независимых фононов, свободно
перемещающихся в кристалле. Энергия, переносимая фононами, перемещается с групповой
скоростью фононов, и в этом приближении для потока тепла нет сопротивления.
В этом приближении нет
также и теплового расширения кристалла, т. к. ср. смещение ионов равно нулю.
Это хорошо видно, если учесть, что смещение ионов unj
после разложения по плоским волнам оказывается линейной формой от безразмерных
координат qk или от импульсов pk фононов:
В континуальном пределе
это разложение для смещения и( х)имеет вид
где em(q) - единичный вектор направления поляризации фонона, r - плотность вещества.
Очевидно, что в гармонич. приближении ср. значение квантовых амплитуд рождения
и уничтожения фононов а+q, аq [и, следовательно,
самого смещения u(x)] равно нулю. Благодаря ангармо-нич.
слагаемым в разложении энергии решётки U, к-рые становятся весьма существенными
при увеличении температуры, возникают процессы столкновения фононов с фононами,
в к-рых участвуют три, четыре или большее число фононов. В результате этих процессов
возникает теплосопротивление; кроме того, благодаря ангармониз-мам средние значения
смещений ионов оказываются отличными от нуля, и это обусловливает тепловое расширение
кристалла.
С помощью фононов рассеяние
носителей заряда на тепловых колебаниях решётки можно описать на основе корпускулярных
представлений. Обычно рассматривается подсистема, состоящая из свободных квазичастиц
- носителей заряда, сталкивающаяся с подсистемой свободных фононов, что порождает
квантовые переходы в системе. Строго говоря, следует учесть также кулоновское
взаимодействие в подсистеме зарядов и ангармонич. взаимодействие в подсистеме
фононов и др. факторы, влияющие на времена жизни квазичастиц и ограничивающие
применимость простой концепции газов квазичастиц, сталкивающихся между собой.
Энергия Э--ф. в. простейшего
вида линейно зависит от деформации, возникающей при акустич. и оптич. колебаниях
решётки. Ниже приводятся выражения для этой энергии, основанные на разл. физ.
представлениях относительно характера взаимодействия электронов с решёткой.
Елоховское взаимодействие. Простейший вид Э--ф. в. в металлах, согласно к-рому решётка металла рассматривается
как статич. пространственно-периодич. поле V(x), а все электроны
двигаются независимо, подчиняясь одноэлектронному ур-нию Шрёдингера,
где yk(x),
Ek - собств. состояние и соответствующая собств. энергия электрона.
Потенциал V(x), равный сумме потенциалов отд. ионов, обладает
периодичностью решётки
где a, b, с-базисные
векторы решётки.
В отсутствие к--л. нерегулярностей
решётки электроны не испытывают никакого рассеяния. При тепловом движении ионов
возникает поле смещений ионов и( х)от их положений равновесия.
Согласно Блоху, при движении ионов происходит деформация плотности заряда электронов
вокруг иона, причём действующий на электрон потенциал Vd (x')в точке x' = x + и(х)деформированной
решётки совпадает с потенциалом Vn (х)в точке x
недеформированной решётки, т. е. Vd (х + и(х))
= Vn(x). Тогда действующий на электрон возмущающий потенциал
в линейном по смещению ионов приближении равен
Наряду с концепцией Блоха
существует концепция Нордгейма жёстких ионов, согласно к-рой окружение движущихся
ионов почти не меняется, когда они совершают тепловые колебания, в этом случае
вид действующего на электрон возмущающего потенциала будет иным. Гамильтониан
Э--ф. в. строится на основании полученного одно-электронного оператора возмущения
с помощью правил для аддитивных квантовомеханич. величин (см. ниже), причём
в блоховской модели существ. значение имеет поле продольных смещений решётки.
Метод потенциала деформации
Бардина - Шокли. Э--ф. в. в ковалентном полупроводнике можно найти, если
считать концентрацию носителей заряда малой и пренебречь их взаимодействием
между собой. Если в таком кристалле возникает небольшая статич. деформация,
описываемая (в континуальном приближении) вектором смещения и( х),
то соответствующий тензор деформаций имеет компоненты зависящие от координаты
х элемента объёма. Обозначим через E0(k)зонную энергию электрона до деформации среды. При малых концентрациях носителей
представляет интерес область волновых векторов, близких к экстремумам энергетич.
зон, где предполагается справедливым приближение эфф. массы (1). В присутствии
пространственно-неоднородной деформации энергия электрона приобретает плавную
зависимость от х вида
при условии, что E0(k)имеет сферически-симметричный вид [в противном случае к правой части (5)
следует добавить слагаемое, содержащее сдвиговые деформации]. Величина div u(x)
описывает относит. изменение объёма системы, возникающее только при деформациях,
обусловленных акустич. фононами, возникают дальнодействующие электростатич.
потенциалы, не принимаемые здесь во внимание (см. ниже).
Гамильтониан Э--ф. в. принимает
вид
где s - спиновые индексы,
ys*, ys - электронные операторы рождения
и уничтожения соответственно. Разложим эти операторы по блоховским функциям и
воспользуемся разложением (4) оператора смещений и( х). Поскольку
divu(x) содержит скалярное произведение kem(k), равное нулю для поперечных нормальных колебаний, вклад в (6) даёт лишь продольная
фононная мода. Окончательно для Э--ф. в. получаем
где квазиволновые векторы
электронов и фононов связаны между собой законом сохранения k' = k
+ q для нормальных процессов рассеяния и k' = k
+ q + K (где К-вектор обратной решётки) для процессов переброса
Пайерлса. Гамильтониан Э--ф. в. He-ph описывает процессы рассеяния,
при к-рых уничтожаются электрон и фонов с квазиимпульсами 
k и 
q
соответственно и рождается электрон с квазиимпульсом 
k'.
Второй член гамильтониана Э--ф. в. описывает процесс уничтожения одного электрона
с квазиимпульсом hk и рождения двух частиц - фонона и электрона
с квазиимпульсами -
q
и 
k'
соответственно. T. о., благодаря Э--ф. в. электронные состояния всегда сопровождаются
появлением фононов. Реальной частицей является не свободный блоховский электрон
(или дырка), а электрон (дырка), окружённый облаком продольных акустич. фононов.
Произошла вторичная перенормировка свойств электрона-на этот раз благодаря фононам.
Эта новая квазичастица наз. поля-роном, хотя первоначально этот термин
был введён для обозначения электрона, окружённого облаком продольных оптич.
фононов в ионных кристаллах.
Процессы столкновения квазичастиц
характеризуются также законом сохранения энергии к-рый выполняется для реальных
частиц, существовавших в начале и в конце процесса взаимодействия (см. Рассеяние
носителей заряда в кристаллических твёрдых телах).
Взаимодействие с оптическими
фононами. Оптич. колебания кристаллич. решётки сопровождаются возникновением
дипольных моментов и поляризацией среды. В длинноволновом пределе кристаллич.
решётку можно рассматривать как сплошную среду с непрерывным распределением
поляризации р( х), к-рая совершает колебания с частотами
оптич. фононов. Энергия взаимодействия заряда е, находящегося в точке
x, с дипольным моментом р( х), находящимся
в точке х', равна
С учётом плотности пространств.
распределения заряда
энергия Э--ф. в. принимает
вид
Повторяя применительно
к div p( х)рассуждения, связанные с divu(x)
в ф-ле (6), убеждаемся, что в Э--ф. в. дают вклады только продольные волны.
Следовательно, в длинноволновом пределе реализуется взаимодействие электронов
только с продольными оптич. фононами.
Поляризация среды поддерживается
электрич. полем [или, точнее, электрич. смещением D( x), создаваемым
носителями заряда (см. Диэлектрики] ).Полная поляризация среды создаётся
не только смещением ионов из положений равновесия (ионная поляризация), но и
деформацией электронных оболочек ионов (электронная поляризация). Оба эти механизма
поляризации возникают в присутствии ста-тич. электрич. поля и описываются статич.
диэлектрической проницаемостью e0:
здесь pполн
- полный дипольный момент, создаваемый обоими факторами. Однако при исследовании
электронно-колебат. взаимодействия, обусловленного оптич. фонона-ми, следует
учесть только ионную поляризацию, так что из pполн следует
исключить электронную поляризацию рэл (x),
к-рая является безынерционной и удовлетворяет соотношению рэл(х)=(4p)-1 (1 - 1/
)D(x),
где 
является
высокочастотной частью диэлектрич. проницаемости, равной квадрату показателя
преломления света в среде.
Поэтому часть поляризации
среды, обусловленная инерционным движением ионов, определяется разностью двух
вышеприведённых величин:
Далее, в (9) следует подставить
разложение по плоским волнам продольной части вектора p( x):
Гамильтониан Э--ф. в. по-прежнему
имеет вид (7), но коэффициенты Aq в данном случае имеют иной
вид:
Модель Бардина - Пайнса. Простая модель Блоха для Э--ф. в. в металле нуждается в уточнении ввиду
значит. концентрации электронов проводимости и важности учёта межэлектронного
взаимодействия, к-рое перенормирует осн. динамич. величины. Помимо экранировки
кулонов-ского взаимодействия и замены закона 1/r на ехр (- kэr)/r существенно меняется величина матричных элементов Э--ф. в., а также характер
закона дисперсии фононов.
Согласно более точной модели
Бардина - Пайнса, электроны проводимости двигаются в непрерывной положительно
заряженной среде и взаимодействуют как между собой по закону Кулона, так и с
продольными колебаниями этой среды (фононами). Гамильтониан такой системы состоит
из гамильтониана свободных блоховских электронов Н0e, свободных фононов H0ph, и двух слагаемых
взаимодействия: He-ph является электрон-фононным, а Не-е- электрон-электронным кулоновским взаимодействием:
где
здесь M-масса иона,
Ze-его заряд, V-объём системы, ni = Ni/V-плотность
ионов. Частота wq продольных колебаний ионов обладает слабой
дисперсией. При q = 0 эта частота
равна плазменной ионной частоте
Отметим, что в рассматриваемой
модели имеет место свойство
Модель Бардина - Пайнса учитывает наиб. существенные особенности металлов и приводит к качественно верному описанию Э--ф. в. в них.
В. А. Москаленко, Ю.
Г. Рудой.
|
|
 |
