Бозе-статистика. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Бозе-статистика (бозе-статистика) - квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с нулевым или целым спином (в единицах ). Предложена в 1924 Ш. Бозе (Sh. Bose) для фотонов и применительно к молекулам идеального газа. Характерная особенность Бозе-статистики заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. В. Паули (W. Pauli) доказал (Паули теорема), что тип квантовой статистики однозначно связан со значением спина частиц, так что совокупности частиц с нулевым или целым спином (ядра с чётным числом нуклонов, фотоны, p-мезоны и др.- т. н. бозоны)подчиняются Б--Э. с., а системы частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, ядра с нечётным числом нуклонов и др.- т. н. фермионы) подчиняются Ферми - Дирака статистике.

При квантовомеханич. описании состояние системы определяется волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц либо симметрична по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым спином), либо антисимметрична (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся Бозе-статистике, состояния описываются симметричными функциями, что является другой эквивалентной формулировкой Б--Э. с. Подобные системы наз. бозе-системами, напр. бозе-газ.

где

- энергия частицы в состоянии Г (для частиц с импульсом р и массой т, равная

), T - абс. темп-pa,

- химический потенциал ,определяемый из след. условия: сумма всех

должна быть равна полному числу частиц в системе. Хим. потенциал бозе-газа

не может быть положительным, иначе функция распределения частиц по энергиям была бы для нек-рых состояний

отрицательной, что невозможно по самому определению

Для систем с переменным числом частиц

. При

, когда все

малы, распределение Бозе переходит в Болъцмана распределение . При низких темп-pax (ниже температуры вырождения бозе-газа) часть частиц переходит в состояние с нулевым импульсом и наступает Бозе-конденсация.

Ф-ла для

следует из Гиббса распределения для идеального квантового газа с уровнями энергии

где

, согласно Бозе-статистики, могут принимать лишь значения 0, 1, 2, ...

Распределение Бозе можно получить и др. методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти термодинамическую вероятность (статистический вес)такого состояния, т.е. число способов реализации данного состояния газа и заданной энергией

и числом частиц N. Для больших систем, когда N велико, уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объёма системы к бесконечности. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим

уровней в ячейке, число

предполагается очень большим. Каждой i-й ячейке соответствует средняя энергия

и число частиц

. Состояние системы определяется набором чисел

,где

-сумма

по уровням ячейки. Для Бозе-статистики атомы предполагаются неразличимыми и в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. Поэтому статистич. вес

равен числу различных распределений частиц по ячейкам:

он определяет вероятность распределения частиц по ячейкам. Энтропия такого состояния равна

Наиболее вероятному состоянию отвечает максимум энтропии (при заданных

) и распределение Бозе

. Энтропия идеального газа, подчиняющегося Бозе-статистике, равна

Одним из применений Бозе-статистики является теория теплоёмкости твёрдых тел. Тепловые колебания твердого тела описываются как возбуждения совокупности осцилляторов, соответствующих нормальным колебаниям кристаллич. решётки. Возбуждённые состояния системы осцилляторов можно описывать как идеальный газ квазичастиц - фононов ,подчиняющихся Б--Э. с. На основании этого представления удаётся правильно описать поведение твёрдых тел при низких температурах, в частности получить Дебая закон теплоёмкости. К важным приложениям Бозе-статистики относится также теория излучения чёрного тела, опирающаяся на представление о квантах эл--магн. поля - фотонах. Последние подчиняются Бозе-статистике: в этом случае

, а

(

- частота излучения). При этом распределение Бозе даёт Планка закон излучения для спектрального распределения энергии излучения абс. чёрного тела.

Бозе-статистика для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни системы

и поддаётся вычислению статистическая сумма

где суммирование ведётся по всем квантовым уровням системы для состояний, удовлетворяющих условиям квантовой симметрии. Последнее условие определяет тип квантовой статистики. Задача вычисления Z не сводится к простой комбинаторной задаче и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало. Её можно несколько упростить, если выразить гамильтониан системы в представлении вторичного квантования (в представлении чисел заполнения квантовых уровней) через операторы вторичного квантования , удовлетворяющие перестановочным соотношениям Бозе-статистики.

где

- дельта-функция Дирака. Тогда требования Бозе-статистики оказываются выполненными и в статистической сумме будут учитываться лишь симметричные состояния. Но и в такой псстановке задача вычисления статистич. суммы очень сложна и допускает приближённое решение лишь для слабовзаимодействующих систем (слабонеидеальный бозе-газ).

Литература по Бозе-статистике

Знаете ли Вы, что такое "усталость света"?
Усталость света, анг. tired light - это явление потери энергии квантом электромагнитного излучения при прохождении космических расстояний, то же самое, что эффект красного смещения спектра далеких галактик, обнаруженный Эдвином Хабблом в 1926 г.
На самом деле кванты света, проходя миллиарды световых лет, отдают свою энергию эфиру, "пустому пространству", так как он является реальной физической средой - носителем электромагнитных колебаний с ненулевой вязкостью или трением, и, следовательно, колебания в этой среде должны затухать с расходом энергии на трение. Трение это чрезвычайно мало, а потому эффект "старения света" или "красное смещение Хаббла" обнаруживается лишь на межгалактических расстояниях.
Таким образом, свет далеких звезд не суммируется со светом ближних. Далекие звезды становятся красными, а совсем далекие уходят в радиодиапазон и перестают быть видимыми вообще. Это реально наблюдаемое явление астрономии глубокого космоса. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.