Явление резонанса колебательных систем. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Резонанс. resonance - (франц. resonance, от лат. resono - откликаюсь) - частотно-избирательный отклик колебательной системы на периодическое внешнее воздействие, при котором происходит резкое возрастание амплитуды стационарных колебаний. Наблюдается при приближении частоты внешнего воздействия к определённым, характерным для данной системы значениям. В линейных колебательных системах число таких резонансных частот соответствует числу степеней свободы, и они совпадают с частотами собственных колебаний. В нелинейных колебательных системах, реактивные и диссипативные параметры которых зависят от величины стороннего воздействия, резонанс может проявляться и как отклик на внешнее силовое воздействие, и как реакция на периодическое изменение параметров. В строгом значении термин "резонанс" относится лишь к случаю силового воздействия.

Резонанс в линейных системах с одной степенью свободы

Пример простейшего случая резонанса представляют вынужденные колебания, возбуждаемые сторонним источником - гармонической э.д.с. ~ E₀cospt с амплитудой Е₀ и частотой p - в колебательном контуре (рис. 1, а).

Рис. 1. Колебательные системы с одной степенью свободы: последовательный (а) и параллельный (б) колебательные контуры, математический маятник (в) и упругий осциллятор (г),

Амплитуда x и фаза φ вынужденных колебаний заряда [q(t) = xcos(pt + φ)] определяются амплитудой и частотой внешней силы:

Зависимость амплитуды х стационарных вынужденных колебаний от частоты p вынуждающей силы при постоянной её амплитуде называется резонансной кривой (рис. 2). В линейном колебательном контуре резонансные кривые, соответствующие различным F, подобны, а фазово-частотная характеристика f(p) не зависит от амплитуды силы.

Вложение энергии в колебательный контур пропорциональна первой степени, а диссипация энергии пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Это обеспечивает ограничение амплитуд стационарных вынужденных колебаний при резонансе. Приближение частоты p к собственной частоте w₀ сопровождается ростом амплитуды вынужденных колебаний, тем более резким, чем меньше коэффицикнт затухания d. При резонансе ток, протекающий через контур, I =

= pxcos(pt + φ - p/2), находится в фазе с э.д.с. стороннего источника (f = p/2). Уменьшение амплитуды вынужденных колебаний при неточной настройке обусловлено нарушением синфазности тока и напряжения в цепи.

Важной характеристикой резонансных свойств колебательной системы (осциллятора) является добротность Q, которая, по определению, равна умноженному на 2p отношению энергии, запасённой в системе, к энергии, рассеиваемой за период колебаний. При воздействии на резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний x в Q-раз больше, чем в квазистатическом случае, при

. Число периодов колебаний, в течение которых происходит установление стационарной амплитуды, также пропорционально Q. Наконец, добротность определяет частотную избирательность резонансных систем. Ширина полосы резонанс Dw, в пределах которой амплитуда вынужденных колебаний спадает в

-раз от х, обратно пропорциональна добротности: Dw = w₀/Q = 2d.

При резонансе в электрических цепях реактивная часть комплексного импеданса обращается в нуль. При этом в последовательной цепи падения напряжения на катушке индуктивности и на конденсаторе имеют амплитуду QE₀. Однако они складываются в противофазе и взаимно компенсируют друг друга. В параллельной цепи (рис. 1, б)при резонанс происходит взаимная компенсация токов в ёмкостной и индуктивной ветвях. В отличие от последовательного резонанса, при котором внешнее силовое воздействие осуществляется источником напряжения, в параллельном контуре резонансные явления реализуются только в том случае, когда внешнее воздействие задаётся источником тока. Соответственно резонанс в последовательном контуре называют резонансом напряжений, а в параллельном контуре - резонансом токов. Если в параллельный контур вместо генератора тока включить генератор напряжения, то на резонансной частоте будут выполняться условия не максимума, а минимума тока, поскольку вследствие компенсации токов в ветвях, содержащих реактивные элементы, проводимость цепи оказывается минимальной (явление антирезонанса).

Подобными чертами обладает явление резонанса в механических и других колебательных системах. В линейных системах, согласно принципу суперпозиции, реакцию системы на периодическое несинусоидальное воздействие можно найти как сумму откликов на каждую из гармонических компонент воздействия. Если период несинусоидальной силы равен Т, то резонансное возрастание колебаний может происходить не только при условии w₀ ! 2p/Т, но в зависимости от формы E(t)и при условиях w₀ ! 2pn/T, где n = 1, 2,... (резонанс на гармониках).

Резонансные кривые определяют, наблюдая изменение амплитуды вынужденных колебаний либо при медленной перестройке частоты p вынуждающей силы, либо при медленном изменении собственной частоты w₀. При высокой добротности осциллятора (Q

1) оба способа дают практически одинаковые результаты. Частотные характеристики, полученные при конечной скорости изменения частоты, отличаются от статических резонансных кривых, соответствующих бесконечно медленной перестройке: на динамических частотных характеристиках наблюдается смещение максимума в направлении перестройки частоты, пропорц. m, где

- время релаксации колебаний в контуре, t* - время, в течение котоpогo частота p находится в пределах полосы резонанса Dw. При быстрой перестройке частоты, по мере роста m, происходит уменьшение высоты и расширение резонансных кривых, причём их форма становится более асимметричной (рис. 3).

Рис. 3. Статические и динамические амплитудно-частотные характеристики резонанса
при различных скоростях нарастания частоты: p(t)= w₀ + t/m, m = 0(1), 0,0625 (г), 0,25(3), 0,695 (4).

Резонанс в линейных колебательных системах с несколькими степенями свободы

Колебательные системы с нескими степенями свободы представляют собой совокупность взаимодействующих осцилляторов. Примером может служить пара колебательных контуров, связанных за счёт взаимной индукции (рис. 4). Вынужденные колебания в такой системе описываются уравнениями

Индуктивная связь приводит к тому, что колебания в отдельных контурах не могут происходить независимо друг от друга. Однако для любой колебательной системы с нескими степенями свободы можно найти нормальные координаты, которые являются линейными комбинациями независимых переменных. Для нормальных координат система уравнений, подобная (2), преобразуется в цепочку уравнений для вынужденных колебаний такого же вида, как для одиночных колебательных контуров, с тем отличием, что воздействие на каждую из нормальных координат оказывают силы, приложенные, вообще говоря, в разных частях совокупной колебательной системы. При рассмотрении законов движения в нормальных координатах справедливы все закономерности резонанса в системах с одной степенью свободы.

Рис. 4. Колебательная система с двумя степенями свободы - пара контуров со связью за счёт взаимоиндукции.

Резонансное нарастание колебаний происходит во всех частях колебательной системы на одних и тех же частотах (рис. 5), равных частотам собственных колебаний системы. Нормальные частоты не совпадают с парциальными, т. е. с собств. частотами осцилляторов, входящих в совокупную систему. Если частота сторонней силы равна одной из парциальных частот, то в совокупной системе резонанс не наступает. Напротив, в этом случае амплитуды вынужденных колебаний достигают минимума, аналогично случаю антирезонанса в системе с одной степенью свободы. Возможность подавления колебаний, частота к-рых равна одной из парциальных, используется в электрич. фильтрах и успокоителях механич. колебаний.

В системе, состоящей из слабо связанных осцилляторов с одинаковыми парциальными частотами, резонансные максимумы, отвечающие близким нормальным частотам, могут сливаться, так что частотная характеристика имеет один максимум (рис. 6). Увеличение связи между осцилляторами приводит к росту интервала между нормальными частотами системы. Изменение формы резонансных кривых при увеличении коэффициента связи иллюстрирует рис. 6. Система осцилляторов при связи, близкой к критической, имеет частотную характеристику, уплощённую вблизи резонанса, причём крутизна её склонов выше, чем у одиночного осциллятора с таким же уровнем потерь. Это свойство обычно используется для создания полосовых электрических фильтров.

Резонанс в распределённых колебательных системах

В распределённых системах (см. Система с распределёнными параметрами)амплитуда и фаза колебаний зависят от пространственных координат. Линейные распределённые колебательные системы характеризуются набором нормальных частот и собственных функций, которые описывают пространственное распределение амплитуд собственных колебаний. Резонансные свойства (добротность) распределённых систем определяются не только собств. затуханием, но и связью с окружающей средой, в которую происходит излучение части энергии колебаний (электрич., упругих и других). В распределённых системах, обладающих высокой добротностью (Q

1), вынужденные колебания представляют собой стоячие волны, пространственное распределение амплитуд которых является суперпозицией собственных функций (мод), а фаза колебаний одинакова во всех точках. Действие сторонних сил с частотами, близкими к собственным, ведёт к резонансному нарастанию амплитуды вынужденных колебаний во всех точках объёма распределённой резонансной системы (резонатора).

В распределённых системах сохраняют силу все общие свойства резонанса. Особенностью резонанса в распределённых системах (равно как и в системах с неск. степенями свободы) является зависимость амплитуд вынужденных колебаний не только от частоты, но и от пространственного распределения вынуждающей силы. Резонанс наступает, если пространственное распределение внеш. силы повторяет форму собств. функции, а частота равна соответствующей нормальной частоте. При неблагоприятном пространственном распределении сторонней силы вынужденные колебания не возбуждаются. Это происходит, в частности, тогда, когда сосредоточенная сила прикладывается в точках, для которых амплитуда соответствующего нормального колебания обращается в нуль. Так, прикладывая сосредоточенную силу в точке, являющейся узловой для перемещений струны, невозможно возбудить её колебания, поскольку работа силы будет равна нулю. Если распределение сил таково, что работа, совершаемая ими в различных частях системы, имеет противоположные знаки и в целом не приводит к изменению энергии, вынужденные колебания также не возбуждаются.

Резонанс в нелинейных колебательных системах

В упругих системах нелинейным элементом является пружина, для к-рой связь между деформацией и упругой силой нелинейна, т. е. нарушается закон Гука. В электрич. системах примером нелинейного диссипативного элемента является диод, вольт-амперная характеристика к-рого не подчиняется закону Ома. Нелинейными реактивными (энергоёмкими) элементами являются конденсаторы с сегнетоэлектриком или катушки индуктивности с ферритовыми сердечниками. Параметры этих элементов - ёмкость, индуктивность, сопротивление, а также собств. частоту и коэф. затухания в нелинейных системах можно считать функциями тока или напряжения. При этом в нелинейных системах не выполняется суперпозиции принцип.

В нелинейных системах гармонич. сила возбуждает негармонич. колебания, в спектре к-рых имеются кратные частоты, поэтому резонанс на гармониках происходит p при синусоидальной внеш. силе. В колебат. системах, обладающих достаточно высокой добротностью и частотной избирательностью, наиб. амплитуду имеет та спектральная компонента, частота к-рой близка к частоте резонанс Рассматривая лишь колебания с частотой, близкой к резонансной, можно и в этом случае получить семейство резонансных кривых. Для системы с нелинейными реактивными (энергоёмкими) элементами при r ! w₀ эти кривые изображены на рис. 7. Форма резонансной кривой зависит от амплитуды вынуждающей силы и по мере её увеличения становится всё более асимметричной. Поскольку частота собств. колебаний нелинейного осциллятора зависит от их амплитуды, то и максимумы на резонансных кривых сдвигаются в сторону более высоких или более низких частот. Начиная с нек-рого значения амплитуды силы, резонансные кривые приобретают неоднозначную клювообразную форму. В определённом интервале частот стационарная амплитуда вынужденных колебаний оказывается зависящей от предыстории установления колебаний (явление колебат. гистерезиса). При этом части резонансных кривых, соответствующих неустойчивым состояниям, образуют на плоскости (х, р)область физически нереализуемых режимов (на рис. 7 заштрихована).

Рис. 7. Семейство амплитудно-частотных кривых в случае нелинейного резонанса при различных амплитудах сторонней силы (F₁ < F₂ < < F₃ < F₄). Пунктир - неустойчивый участок резонансной кривой. Заштрихована область неустойчивых состояний. Стрелками отмечены точки скачкообразного изменения амплитуд колебаний при перестройке частоты вверх (АВ) и вниз (CD).

На явление нелинейного резонанс в распространённых колебат. системах могут оказать существ. влияние эффекты самофокусирования и образования ударных волн, особенно в тех случаях, когда на длине резонатора укладывается большое число волн.

Явления, родственные резонансу

В нелинейных колебат. системах внеш. периодич. воздействие вызывает не только возбуждение вынужденных колебаний, но и модуляцию энергоёмких и диссипативных параметров. Явление возбуждения колебаний при периодич. модуляции энергоёмких параметров называется параметрическим резонансом.

Если глубина модуляции энергоёмкого параметра недостаточна для возбуждения параметрич. резонанс, в колебат. системе происходит частичное восполнение потерь. Резонансный отклик на действие слабого сигнала с частотой p ! w₀ при этом такой же, как у линейного осциллятора с более высокой добротностью. Кроме того, образуются колебания комбинац. частот mp + nw_М, где w_М - частота модуляции параметра,

При совпадении частоты p и (w_М - р) вынужденные колебания в параметрически регенерированной системе зависят от соотношений между фазами параметрич. воздействия и слабой силы (сигнала). При этом может происходить как увеличение, так и уменьшение амплитуды вынужденных колебаний по сравнению с отсутствием параметрич. регенерации (явления "сильного", и "слабого" резонанса).

Эффект регенерации потерь и повышения эквивалентной добротности имеют место в резонансных системах с нелинейными потерями, к-рые содержат элементы С отрицательным дифференциальным сопротивлением пли цепи положительной обратной связи. Такие системы называются потенциально автоколебательными. Если на потенциально автоколебательную систему воздействует периодическая сила значительной амплитуды с частотой p, она может влиять на затухание колебаний в системе так, что в течение определённой доли периода действия силы затухания оно становится отрицательным. В результате в потенциально автоколебат. системе возбуждаются колебания на частоте w, близкой к собственной, если дополнительно выполнено условие w = p/n. Случай n = 1 отвечает синхронизации частоты автоколебаний внеш. силой. При n

2 данное явление носит назв. автопараметрич. возбуждения, по аналогии с параметрическим резонансом, в отличие от к-рого при автопараметрич. возбуждении происходит модуляция не энергоёмких, а диссипативных параметров системы.

Термин "резонанс" употребляется и по отношению к процессам в квантовых системах, когда частота внеш. воздействия (излучения) равна частоте квантового перехода, так что выполняется условие

где

- энергия соответственно n -, m - го уровней квантовой системы. При выполнении (3) резко возрастают вероятности квантовых переходов, что проявляется как увеличение интенсивности обмена энергией - поглощения и излучения (см. Квантовая электроника, Лазер).

Резонанс может быть причиной неустойчивости и разрушений механич. инженерных конструкций и электрич. сетей. В вибропреобразователях резонанс позволяет достигать значит. амплитуд упругих колебаний благодаря периодич. действию сравнительно слабой силы. В радиофизике и радиотехнике явление резонанса лежит в основе многих способов фильтрации сигналов разных частот, обнаружения и приёма слабых сигналов.

Литература по явлению резонанса

Знаете ли Вы, что любой разумный человек скажет, что не может быть улыбки без кота и дыма без огня, что-то там, в космосе, должно быть, теплое, излучающее ЭМ-волны, соответствующее температуре 2.7ºК. Действительно, наблюдаемое космическое микроволновое излучение (CMB) есть тепловое излучение частиц эфира, имеющих температуру 2.7ºK. Еще в начале ХХ века великие химики и физики Д. И. Менделеев и Вальтер Нернст предсказали, что такое излучение (температура) должно обнаруживаться в космосе. В 1933 году проф. Эрих Регенер из Штуттгарта с помощью стратосферных зондов измерил эту температуру. Его измерения дали 2.8ºK - практически точное современное значение. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.