Здесь рассматривается очень важный методический вопрос физики - понятие о
физической размерности. Без усвоения этого понятия ни студент, ни инженер, ни
любой человек, занимающийся физикой, вплоть до доктора физико-математических
наук, не сможет понять сущности физических величин, будет "плавать" в анализе
физических явлений и процессов. Поэтому важно вдумчиво, не спеша изучить данный
материал для прочного владения инструментом анализа физической размерности,
которая являются базовым качественно-логическим понятием
в физике, находящимся на более высоком иерархическом уровне
и более раннем этапе физического анализа, нежели количественно-математический анализ.
О термине "физическая размерность"
Термин “размерность” имеет совершенно разные значения
в математике (геометрии) и физике. В математике размерность некоторой количественной
меры (величины, параметра, переменной, константы и пр.) есть также количественная мера,
определяющая степень, в которую возводится некая первичная по отношению к определяемой величины мера,
в отношении которой (первичной меры) определяется размерность. То есть
y = xn,
где x - первичная (базовая) величина (мера), размерность которой считается равной 1,
n - степень, в которую возводится первичная величина, чтобы получить вторичную, у - вторичная величина (мера), размерность которой по отношению к x есть n.
В физике формальное определение размерности дано в советском ГОСТ 16263-70 (ГСИ. Метрология. Термины и определения), который действует в России и Казахстане и в настоящее время:
Размерность физической величины
-
выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной физической величины с физическими величинами, принятыми в данной системе величин за основные и с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
В БСЭ имеется другое, неверное определение размерности:
"Размерность физической величины - выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные".
[авт.: Коган Б. Ю., то же: Коган Б. Ю., Размерность физической величины, М., Изд-во "Наука", 1967, 72с. с илл., 100000 экз.]
Это определение не соответствует ни стандарту, ни смыслу понятия физической размерности. Кроме того, размерность физической величины и единица измерений физической величины синонимами не являются.
Термин "размерность" не относится к единицам измерения физической величины: метр, дюйм, фут, аршин, миля, ангстрем…, но все перечисленные единицы есть лишь формы одной физической размерности "длина". Поэтому, для анализа физических размерностей часто абстрагируются от конкретных единиц измерения и описывают размерности в терминах основных физических свойств (качеств), таких, например, как длина, масса и время, которые обозначают символами L, M и T, соответственно. При анализе физических размерностей, построении систем физических размерностей некоторые физико-математики ограничивают количество этих качеств до трех (L, M, T), приводя остальные физические размерности к этим, или вовсе пытаются построить безразмерные физические величины. Первое есть некорректность, так как не все физические размерности сводимы к LMT, многие из них независимы от длины, массы и времени; последнее же, есть логический нонсенс, так как безразмерность какой-либо величины означает отсутствие у нее физического качества, а значит, эта безразмерная величина не имеет никакого отношения к качеству физического мира, его объектов. Она - лишь какой-то пересчетный математический коэффициент, отражающий лишь количественно-математическую сторону, а не физические свойства объекта.
Таким образом, любая физическая величина должна иметь физическую размерность, чтобы соотноситься с определенным физическим качеством реальности.
С точки зрения формально-математического манипулирования физическими размерностями существует следующее определение физической размерности, предназначенное для определения правил манипуляции с физической размерностью в уравнениях, неравенствах и иных математических выражениях.
Размерность физической величины
-
выражение, показывающее связь этой величины с основными величинами данной системы физических величин; записываемое в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам, в котором численные коэффициенты опущены. Содержательно физическая размерность характеризует физическое качество, семантику той физической величины, к которой она применяется.
В Международной системе величин (англ. International System of Quantities, ISQ), на которой базируется Международная система единиц (СИ), в качестве основных величин выбраны длина, масса, время, электрический ток, термодинамическая температура, сила света и количество вещества. Символы их размерностей в СИ приведены в таблице[1].
Таблица 1. Основные физические размерности в СИ
N
Основная величина
Символ для размерности
1
Длина
L
2
Масса
M
3
Время
T
4
Электрический ток
I
5
Температура
Θ
6
Количество вещества
N
7
Сила света
J
Для обозначения производных физических размерностей используют символ dim, а также сочетание размерностей в конкретной системе единиц, например, СИ, заключенные в квадратные скобки.
Например, для скорости при равномерном движении выполняется
v = s/t
где s - длина пути, пройденного телом за время t. Для того, чтобы определить размерность скорости, в данную формулу следует вместо длины пути и времени подставить их размерности:
dim v = LT-1 = [m/s]
Аналогично для размерности ускорения получается
dim a = LT-2 = [m/s2]
Из уравнения второго закона динамики с учётом размерности ускорения для размерности силы следует:
dim F = MLT-2 = [kg·m/s2]
В общем случае размерность физической величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведённых в различные (положительные или отрицательные, целые или дробные) степени ni
dim X = Ln1M n2T n3I n4Θ n5M n6J n7
Показатели степеней ni в этом выражении называют показателями размерности физической величины. Если в физической размерности величины хотя бы один из показателей размерности не равен нулю, то такую величину называют имеющей физическую размерность (качество), а значит, эта величина является реально физической. Если все показатели размерности равны нулю, то рассматриваемая величина есть всего лишь математический коэффициент, количественное соотношение каких-то двух величин, но не реальная физическая величина.
Коррекция размерностей системы СИ в реальной физике
Хотя система СИ наиболее физична из всех используемых систем физических единиц измерений (СГС, СГСЭ и пр.), но на самом деле она не является ни оптимальной, ни даже корректной в отношении физических размерностей. И вот почему.
Основные физические размерности должны быть неразложимы на составные размерности. В СИ это не так. Размерность силы электрического тока является комбинацией размерности заряда и размерности времени
dim I = Q/T = [C/s, A]
Размерность температуры представляет собой производную размерность от размерности энергии и размерности энтропии
dim Θ = E/H, = [J/nit, °K]
где E - энергия, dim E = ML2T-2 = [J]
H - энтропия, dim H = -Σpiln pi, = [nit]
Точно так же обстоит дело с силой света, размерность которой есть сложносоставная величина.
Количество вещества в СИ есть не что иное, как пересчетный коэффициент массы атома - в граммы, молекулярного веса - в вес грамм-молекулы. Это известное число Авогадро, которое к физическим размрностям не имеет никакого отношения, так как не несет в себе индивидуального физического качества, являясь безразмерным коэффициентом.
Для исключения нелогичностей и успешности размерностного анализа в реальной физике необходимо использовать систему основных размерностей, показанную в таблице 2.
Таблица 2. Основные физические размерности в реальной физике
N
Основная величина
Символ для размерности
1
Время
T
2
Угол
A
3
Расстояние
L
4
Масса
M
5
Электрический заряд
C
6
Энтропия
E
Здесь в основные размерности входит угол, так как наличие размерности угла коренным образом меняет смысл физической величины, что часто не учитывается в СИ.
К примеру, размерность момента силы в СИ равна размерности энергии [N·m] = [J], что есть нонсенс. В реальности в размерность момента силы входит угол [N·m/rad], что соответствует смыслу этой физической величины, ибо [N·m/rad] означает, что указанное в величине количество энергии приходится на каждый радиан.
Без правильного учета размерности энтропии невозможно проводить анализ реальных термодинамических и информационных явлений в физике.
С помощью произведения основных физических размерностей может быть получена размерность любой физической величины
dim X = Tn1An2Ln3Mn4Cn5En6
Системы единиц измерения физических величин
Для осуществления количественного измерения и количественного анализа физических величин созданы системы единиц измерения физических величин, в каждой из которых для любого качества (размерности) есть четко установленная количественная мера в виде единицы этого качества. Наиболее разумной является система SI (СИ) - Международная система физических единиц.
СГС, СГСЭ (сантиметр, грамм, секунда) - "Гауссовская система единиц" (никак не связанная с Карлом Фридрихом Гауссом) - созданы математиками, спекулирующими в физике и ничего в ней не понимающими.
К примеру электрическая емкость в этих система измеряется в мерах длины, что есть нонсенс.
Наиболее рациональной для применения в физике видится система СИ, которая применяется в качестве стандарта во многих странах и наиболее точно соответствует физической сущности величин. Именно она с некоторыми корректировками используется в реальной физике.
В СИ размерность любой физической величины записывают, как произведение символов, которыми именуются физические размерности, каждый из которых возведён в рациональную степень.
Например, размерность скорости — расстояние, делённое на время [m/s],
а размерность силы — масса, умноженная на расстояние и делённая на время
в квадрате [kg·m/s2]. Выражение размерности для вычисляемой
величины (количества) записывается в квадратных скобках.
В механике размерность любой величины может быть выражена через расстояние
[m], массу [kg] и время [s]. Электрические и магнитные величины также могут
быть выражены через эти три размерности плюс размерность электрического заряда в Кулонах [C].
Для рассмотрения существа физического процесса (его реального качества) часто
удобнее использовать составные, то есть производные от базовых, размерности,
такие, как размерность электрического тока [a] = [C/s], силы [N] = [kg·m/s2],
энергии [J] = [kg·m2/s2] и пр.
Любая физическая величина имеет физическую размерность как атрибут ее качества,
если у какой-либо величины нет физической размерности (говорят, что она "безразмерна"),
то это не физическая величина, а только некий относительный математический коэффициент,
отношение между двумя другими физическими величинами одной и той же размерности.
К сожалению, последнего не понимают многие математики ("физико-математики").
Они пытаются присвоить смысл самостоятельной физической величины таким коэффициентам
или даже построить целые безразмерные "физико-математические" системы единиц,
не понимая, что без качества физической размерности такие системы сами не имеют физического качества,
но являются лишь количественно-математическими моделями, толерантными к логическим ошибкам.
То есть такие математические модели допускают нарушение логики в результате подмены одного физического качества другим, просто не видя физического качества.
К таким системам относятся релятивистский вариант системы СГСЭ, релятивистская система безразмерных единиц (которую не следует путать с системой естественных единиц Макса Планка), система MLT, и прочие разновидности систем, пытающихся выбросить из физики ее физическое качество, то есть содержание, и сделать физику разделом математики. К примеру, в системе MLT (масса-длина-время) исключены другие физические качетва, отнюдь не сводимые к массе, длине и времени. Среди них углы (плоские и телесные) и электрический заряд.
Основные физические размерности и единицы измерений в СИ приведены в таблице.
Физические размерности в Международной системе единиц (СИ)
Печально, что составители российских метрологических нормативных документов запретили использование термина "системы единиц измерения физических величин", разрешая использование лишь термина "системы единиц физических величин", не понимая, что любая единица физической величины имеет смысл только в процессе физических измерений и для него. Любая метрологическая информация поступает к нам (в измерительный прибор) только в процессе измерения, а само измерение возможно лишь при использовании единиц измерения.
Проверка физической размерности
В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую
размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например,
сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла.
Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 секунды. Из этого
правила, в частности, следует, что левые и правые части всех физических
уравнений должны иметь одинаковую размерность.
Кроме того, аргументы экспоненциальных, логарифмических функций должны быть
безразмерными величинами, а и тригонометрических - угловыми.
Эти правила используются для проверки правильности физических формул. Если в полученном уравнении какое-то из них нарушается, то ясно, что, в качественной модели анализируемого физического процесса была допущена ошибка, которая делает бессмысленными результаты всех количественных (математических) операций.
Анализ физических размерностей
Анализ размерности
-
метод, используемый физиками для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных размерных параметров сложной физической системы, то есть качественно-логический анализ модели этой системы.
Для исключения нарушения логики качественно-логический анализ всегда должен предшествовать количественному, ибо он является анализом более высокого иерархического уровня, нежели количественно-математический.
Для проведения качественно-логического анализа составляют уравнения размерностей,
которые составляют путем замены физических величин (параметров) обозначением
их физических размерностей. При этом левая и правая часть уравнения после
приведения к подобным размерностям должны иметь эквивалентные размерности.
Пример анализа физической размерности
Физическое уравнение: F = m·a
Уравнение размерностей до приведения: [N] = [kg·m/s2]
Уравнение размерностей после приведения: [kg·m/s2] = [kg·m/s2]
При этом множество формул, описывающих данную систему или процесс, сужается до узкого перечислимого множества вариантов (с точностью до безразмерной константы). Суть метода заключается в том, что из параметров, характеризующих систему, составляется выражение, имеющее нужную размерность. При этом нельзя забывать, что это лишь метод подгонки, единственность решения которого еще предстоит доказать.
Как уже было отмечено, при анализе размерностей формул размерность левой части уравнения должна быть равна размерности правой части уравнения. Отсутствие такого равенства говорит о неверности формулы. Однако наличие такого равенства не является достаточным условием справедливости выводимой формулы.
Степени физических размерностей
В выражениях размерности часто встречается некоторая степень, то есть физическая размерность [x] может быть какой-то степени n: xn:
Площадь является второй степенью линейной меры пространства [m2], объем - третьей [m3]. Появление таких степеней в размерности означает, что исследуемая величина или ее составляющая есть линейная мера от n-ой степени основной физической размерности.
При этом n может быть не только целым числом, но и дробным:
Появление дробной степени в физической размерности соответственно означает, что физическая величина, имеющая такую дробную размерность проявляет свойство аддитивности (меры) по отношению базовой физической размерности именно в этой дробной степени. Примером могут служить различные спектральные меры, являющиеся функцией частоты или энергии в дробной степени, например [Hz1/2] или [J1/2], когда аддитивной мерой от частоты в первой степени является энергия сигнала, а используется выражение для амплитуды или нормы сигнала (см. "Энергетические спектры сигналов"). То же самое относится к физическим мерам, аддитивным к объемам. В них может быть размерность [m1/3].
"Безразмерные" физические величины
В отличие от спекулятивно-математической физики, пытающейся отказаться от
физических размерностей для формального замыкания теоретической физики на
математическую релятивистскую модель, в реальной физике кроме физических
величин, характеризуемых физическим качеством, существуют и величины,
характеризующие чисто количественные отношения между физическими величинами.
Именно их можно считать "безразмерными", но реально имеющими, как минимум,
количественно-математическое качество, обычно [раз, доля, %, дБ], проявляющееся
при делении величин физического качества одной и той же физической размерности.
В таблице ниже приведены некоторые "безразмерные" величины, используемые в
физике. Как правило, они называются коэффициентами.
название величины
числительная физ.величина
знаменательная физ.величина
диапазон значений
к.п.д., коэффициент полезного действия
полезная энергия на выходе [J]
используемая энергия на входе [J]
0... 1, 0... 100%
линейный коэффициент усиления (ослабления, аттеньюации) по [U,I,P,F]
величина [U,I,P,F] на выходе
величина [U,I,P,F] на входе
действительное число ≥ 0
добротность LC-контура и пр.
энергия в контуре
энергия, теряемая за период
положительная величина ≥ 0
относительная диэлектрическая проницаемость
абсолютная диэлектрическая проницаемость среды
абсолютная диэлектрическая проницаемость эфира
положительная величина ≥ 1
относительная диэлектрическая восприимчивость
абсолютная диэлектрическая восприимчивость среды
абсолютная диэлектрическая проницаемость эфира
положительная величина ≥ 0
относительная магнитная проницаемость
абсолютная магнитная проницаемость среды
абсолютная магнитная проницаемость эфира
положительная величина ≥ 0
логарифмический коэффициент усиления (ослабления, аттеньюации) по [U,I,P,F]
Международный словарь по метрологии: основные и общие понятия и соответствующие термины / Пер. с англ. и фр.. — 2-е изд., испр. — СПб.: НПО “Профессионал”, 2010. — 82 с. — ISBN 978-5-91259-057-3.
