Динамика разреженных газов. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Динамика разреженных газов - раздел механики газов, в к-ром изучаются явления, требующие учёта молекулярной структуры, привлечения представлений и методов кинетической теории газов. Толчком к бурному росту исследований в этой области и образованию на стыке газовой динамики и кинетич. теории газов самостоятельной дисциплины - Д. р. г.- послужило развитие вакуумной техники и космонавтики, что и обусловило её название; Д. р. г. наз. также молекулярной газодинамикой.

В Д. р. г. фундаментальное значение имеет отношение ср. длины свободного пробега молекул между столкновениями

к характерному размеру течения L - т. н. Кнудсена число

Классич. газовая динамика справедлива при

T. к. в этом случае на длине пробега параметры газа изменяются мало, то благодаря столкновениям молекул в окрестности каждой точки течения устанавливается локальное, близкое к равновесию состояние, к-рое можно характеризовать неск. макроскопич. параметрами (плотностью, скоростью, температурой) и производными от них. Это позволяет прийти к локальному макроскопич. газодинамич. описанию, к представлению о газе как о сплошной среде (континууме), наделённой нек-рыми свойствами (вязкостью, теплопроводностью, диффузией и т. д.). Число Kn можно выразить через параметры континуальной газодинамики - Маха число M и Рейнольдса число . Отсюда следует, что континуальная газодинамика имеет место при фиксированном M и

либо при

По мере возрастания числа Kn состояние газа всё больше отличается от локально равновесного, его нельзя охарактеризовать конечным числом макропараметров и необходимо перейти к кинетическому его описанию с помощью функции распределения молекул

, где t- время, х_i - пространств. координаты,

- компоненты вектора скорости молекул (i=l, 2, 3). Величина

определяет число молекул в момент времени t, имеющих скорости в интервале около скорости

в элементе пространства

около точки

. Изменение функции f во времени и пространстве описывается кинетическим уравнением Больцмана:

где J - интеграл столкновений, характеризующий изменение функции распределения f, обусловленное столкновениями молекул.

Свободномолекулярное течение. Если

, то столкновениями можно пренебречь. В этом случае

, т. е. функция распределения не изменяется вдоль траектории молекул. Такие течения наз. свободномолекулярными. Характер явлений при этом определяется столкновением молекул с ограничивающими течение поверхностями, а следовательно, законами взаимодействия молекул с жидкими или твёрдыми телами. Явления в свободномолекулярной области имеют характер, существенно отличный от аналогичных явлений в континуальной области

. Пусть, напр., с двух сторон от нек-рой плоскости газ находится в равновесии (в покое) при темп-pax T₁ и T₂ и давлениях р₁ и р₂. Если в плоскости имеется отверстие, диаметр к-рого

, т. е.

, то, согласно законам континуальной газодинамики, газ не будет перетекать через отверстие, если р₁=р₂, независимо от температур T₁ и Т₂. Если же

, то перетекание отсутствует при условии

, т. к. малое отверстие не нарушает равновесия в каждом из сосудов, а при равновесии число молекул, проходящих из каждого из сосудов через единицу площади отверстия, пропорционально произведению плотности

на ср. скорость теплового движения молекул, пропорциональную

Характерные особенности обтекания тел в свободномолекулярном режиме особенно наглядны при гипертермич. скоростях набегающего потока, т. е. когда скорость потока v много больше ср. скоростей теплового движения молекул, так что, пренебрегая последними, можно считать, что все молекулы набегающего потока движутся с одной скоростью v. Если п - число молекул в единице объёма набегающего потока и S - площадь миделевого сечения обтекаемого тела, то число молекул, падающих на тело, равно

, а приносимый ими импульс

, где

- плотность, т - масса молекулы. Полная сила сопротивления тела X=Х_i+Х_r, где X_r - реактивный импульс отражённых от тела молекул. В аэродинамике силы, действующие на тело, принято характеризовать безразмерными аэродинамическими коэффициентами. Если пренебречь импульсом отражённых молекул, то коэф. сопротивления

, т. о., коэф. сопротивления

независимо от формы тела. В континуальном же режиме для хорошо обтекаемых тел C_x порядка сотых или десятых единицы, а для плохо обтекаемых близок к 1. В свободномолекулярном гипертермич. режиме подъёмная сила обусловлена лишь реактивным импульсом отражённых молекул. В условиях космич. полёта, напр., скорость отражённых молекул

мал, а следовательно, и аэродинамическое качество

независимо от формы обтекаемого тела, в то время как в условиях континуума аэродинамич. качество тел типа крыла может достигать единиц или даже десятков. В условиях континуума наивысшая темп-pa в потоке, а следовательно, и тел, помещённых в поток, равна температуре торможения. А в гипертермич. свободномолекулярном потоке температура теплоизолированного тела (термометра) больше температуры торможения. Если в условиях континуума в потоке поместить вращающийся цилиндр (рис. 1), то на него действует подъёмная сила, направленная вверх,- Магнуса эффект .В свободномолекулярном потоке отражённые молекулы приобретают составляющую скорости, параллельную поверхности, так что реактивная сила, действующая на тело, направлена вниз. T. о., характер явлений в предельных ситуациях

существенно различен. Промежуточная область. Между предельными режимами - континуальным и свободномолекулярным - лежит переходная область, в к-рой непригодны как континуальное описание, так и упрощения свободномолекулярного случая. Здесь приходится иметь дело с решением полного кинетич. ур-ния Больцмана, к-рое много сложнее ур-ний газовой динамики. Имеется лишь небольшое число точных и аналитич. решений этого ур-ния для весьма вырожденных ситуаций. Для практически интересных течений решения получают численными методами. Большое распространение для решения сложных задач получил метод статистич. моделирования (Монте-Карло метод ),в к-ром моделируются перелёты и столкновения молекул. Часто для получения приближённых решений применяют модельные ур-ния с упрощённым интегралом столкновений.

Рис. 1. Схема взаимодействия вращающего цилиндра с потоком: а - континуальным Кn"1 (эффект Магнуса), б - свободномолекулярным Кn"1.

Рис. 3. Распределение скоростей в течении Kуэтта при различных числах Кнудсена.

Рис. 4. Напряжение трения между пластинами в течении Куэтта.

Характерные особенности течений в промежуточной области можно видеть на примере течения Kуэтта: две бесконечные пластины с равными температура-ми движутся в противоположные стороны со скоростями

(рис. 2). Если скорость их относит. движения v мала, то на основе приближённого решения ур-ния Больцмана можно получить выражения для скорости газа u_z(x)и постоянного поперёк течения напряжения трения Р_хz, к-рые имеют вид:

где А - константа, а

- коэф. вязкости (рис. 3 и 4). При свободномолекулярном режиме

газ между пластинами покоится, несмотря на их движение. На стенках газ "проскальзывает" на величину

. По мере уменьшения числа Kn проскальзывание уменьшается, и при

, напр. на ниж. поверхности, скорость скольжения

, т. е. и в континуальном режиме имеет место проскальзывание, пропорциональное длине пробега и градиенту скорости у стенки. T. к. число Kn обратно пропорционально давлению р, то напряжение трения пропорционально давлению при малых значениях давления

и не зависит от давления в континуальной области, где оно пропорционально коэф. вязкости ц и градиенту скорости. Если пластины имеют разную температуру, то аналогичная картина получается для потока тепла, а на стенках имеет место скачок температуры

, т. е. разрыв между температурой газа у стенки T и температурой стенки

. Как и для скорости, скачок температуры имеет место и в континуальной области, где он пропорционален длине пробега и нормальному к стенке градиенту температуры. Принятые в классич. газодинамике условия прилипания

являются приближёнными. В течении Куэтта напряжение трения или тепловой поток монотонно изменяются с изменением давления (или Kn)между пластинами. Однако часто в промежуточной области характеристики меняются немонотонно. Так, в практически важном течении по плоскому каналу или трубе под действием градиента давления безразмерный объёмный расход Q_p минимален при нек-ром числе Kn (парадокс Кнудсена; кривая 1 на рис. 5). В континуальной газодинамике с условиями прилипания на стенке течение в трубе может быть вызвано лишь градиентом давления. В промежуточной области течение может быть обусловлено также градиентом температуры вдоль трубы. Если канал или труба соединяет два сосуда с разными температурами, то из-за наличия градиента температуры вдоль трубы начнётся перетекание из холодного сосуда в горячий. Для того чтобы ликвидировать перетекание, обусловленное перепадом температуры

, необходимо создать нек-рый перепад давления

между горячим и холодным сосудами. Величина этого перепада зависит от Kn (рис. 5); его необходимо учитывать, напр., при измерении температуры "горячего" газа "холодным" манометром. При нулевом расходе газ у стенки течёт в одну сторону, а в середине канала в другую. Тепловое скольжение, или т. н. крип, сохраняется и в континуальной области, где оно пропорционально длине пробега и градиенту температуры вдоль стенки,

(а - скорость звука). В отличие от скоростного скольжения u_S и температурного скачка

, к-рые приводят лишь к нек-рому отклонению от явлений, имеющих место при условии прилипания

, крипом обусловлен целый ряд явлений, напр. упомянутое выше движение газа в трубе (термомеханич. эффект), термофорез и др. Если тело с коэф. теплопроводности

поместить в газ с теплопроводностью

, в к-ром имеется градиент температуры, то появится и градиент температуры вдоль поверхности тела, а следовательно, и скольжение газа от холодной части к горячей. Явления, вызванные этим движением газа, наз. термофоретическими. T. к. это течение газа обусловлено телом, то на тело будет действовать реактивная термофоретич. сила F в противоположную сторону. Термофорез имеет место и в промежуточной области (рис. 6). При увеличении теплопроводности тела его темп-pa выравнивается и термофоретич. сила уменьшается. Если частица не закреплена, то она будет двигаться со скоростью термофореза, при к-рой её сопротивление равно термофоретич. силе. В результате термофореза происходит, напр., осаждение частиц в топках.

Рис. 5. Парадокс Кнудсена (1); зависимость перепада давления от числа Kn (2).

Рис. 6. Изменение термофоретической силы F в зависимости от числа

: 1 - для

=0,2 и 2 - для

=0,002, где

- длина пробега в окружающем частицу тазе, d - диаметр частицы, F₁ - термофоретическая сила в свободномолекулярном пределе,

- коэффициенты теплопроводности газа и тела.

Выше предполагалось, что в течении имеется лишь одно характерное число Кнудсена, определяющее режим течения. Однако это не всегда так. При обтекании тел можно выделить несколько характерных длин пробега (напр., длину пробега набегающих молекул в поле молекул, отражённых от тела, длину пробега отражённых молекул на набегающих, длину пробега отражённых молекул на отражённых). При гиперзвуковых скоростях

в режиме, близком к свободномолекулярному, эти длины пробега могут существенно отличаться как друг от друга, так и от длины пробега в набегающем потоке

. Величина этих длин пробега зависит от законов взаимодействия молекул между собой и с телом, от температуры и формы тела. Вместо числа

, где L - характерный размер тела, определяющим режим течения может оказаться число Kn, построенное по одной из указанных характерных длин. Так, напр., в условиях натурного космич. полёта характерное число Kn оказывается в M раз меньше

, а в условиях аэродинамич. трубы - в M раз больше, т. е. в натурных условиях при увеличении числа Маха течение удаляется от свободномолекулярного, а в условиях аэродинамич. трубы стремится к нему. Поэтому при

в условиях эксперимента в аэродинамич. трубе свободномолекулярные характеристики могут достигаться при

. Это связано с тем, что законы взаимодействия молекул между собой и с телом существенно зависят от температуры газа и стенки, так что для полного моделирования недостаточно выдержать натурные значения M и Re, но необходимо выдержать и натурные значения температуры набегающего потока и тела. В условиях гиперзвуковой аэродинамич. трубы, как правило, температура набегающего потока ниже, чем в натурном полёте, а темп-pa тела близка температуре торможения T₀, в то время как в полёте большая часть тепла излучается и темп-pa тела оказывается много меньше T₀.

Разл. характер изменения аэродинамич. характеристик тел разной формы при

в промежуточной области объясняется также характером столкновения разных групп молекул. При обтекании тупых тел молекулы набегающего потока рассеиваются на отражённых молекулах и сопротивление падает по сравнению со свободномолекулярным течением. При обтекании же тонких тел (пластина, параллельная потоку, тонкий конус и т. п.) в результате столкновений на тело попадают молекулы, к-рые без столкновений пролетели бы мимо тела, и это приводит к возрастанию сопротивления по сравнению со свободномолекулярныи пределом.

Как уже отмечалось, при

справедливы представления сплошной среды, т. е. классич. газовой динамики, и применимы Навье - Стокса уравнения. Однако наряду с основным, "внешним", характерным размером течения L (напр., размером обтекаемого тела) в течении могут иметь место "внутренние", или "собственные", характерные размеры L_i, напр. толщина пограничного слоя Прандтля

или толщина ударной волны h~

. Если характерный размер области больше длины пробега молекул, то течение в ней может быть описано в рамках классич. газодинамики (напр., слой Прандтля). Однако чем ближе L_i к

, тем менее точным становится такое описание.

Рис. 7. Течение в слое Кнудсена, х - расстояние по нормали к стенке, и - тангенциальная скорость, u_S - скорость скольжения, u_ист- истинная скорость газа у стенки, 1 - истинный профиль скоростей, 2 - профиль скоростей в решении уравнений Навье - Стокса с условием скольжения на стенке.

Слой Кнудсена. Если стенка не находится в равновесии с газом, то в общем случае функция распределения континуального приближения не удовлетворяет микроскопич. граничному условию на стенке. Поэтому между стенкой и континуальной областью должна существовать переходная область толщиной порядка длины пробега - слой Кнудсена, в к-рой континуальное описание неправомерно. Слой Кнудсена, как и ударная волна, должен рассматриваться в рамках кинетич. теории с помощью ур-ния Больцмана. В этом слое распределение газодинамич. параметров, напр. скоростей, имеет вид, показанный на рис. 7. Скорость скольжения u_S не равна истинной скорости газа у стенки. Решение ур-ния Больцмана в слое Кнудсена связывает справедливое вне слоя Кнудсена континуальное решение с физ. условиями взаимодействия молекул с поверхностью тела. При рассмотрении течений во внешней по отношению к кнудсеновскому слою газодинамич. области истинный ход изменения скоростей или температур внутри слоя Кнудсена несуществен. Важны лишь скорости скольжения u_S, и_Т и скачок температур

, дающие макроскопич. граничное условие для газодинамич. области на стенке

где А, В, С - коэф., зависящие от параметров газа у стенки, сорта молекул и закона их взаимодействия со стенкой. Заметим, что сами представления о газе как о континууме не содержат к.- л. сведений о граничных условиях на твёрдых или жидких поверхностях (кроме условия непротекания) и они должны быть получены из дополнит. предположений или эксперимента. Хотя получаемое с этими граничными условиями решение ур-ний Навье - Стокса внутри кнудсеновского слоя (прямая 2 на рис. 7) отличается от истинного решения, потоки тепла и импульса (напряжения трения) к стенке определяются с точностью, соответствующей точности самих ур-ний газодинамики.

Рис, 8. Зависимость параметров пара от массы испаряющегося материала;

-температура и числовая плотность молекул пара над испаряющей поверхностью (на границе слоя Кнудсена), n_е- числовая плотность насыщенного пара при температуре поверхности

- число Маха нормального к стенке потока на границе слоя Кнудсена,

- масса испарённого материала, отнесённая к массе, которую испарила бы стенка, если бы молекулы не возвращались на неё в результате столкновений в слое Кнудсена; Г-К - величина

, вычисленная по формуле Герца - Кнудсена.

Важное значение имеет исследование слоя Кнудсена При установлении граничных условий для ур-ний газодинамики на поверхности, на к-рой происходит испарение или гетерогенная реакция. В этом случае слой Кнудсена связывает континуальные процессы диффузии или течения компонент, справедливые вне кнудсеновского слоя, с физ. процессами конденсации, испарения и превращения молекул на поверхности. Анализ течения в кнудсеновском слое показывает, напр., что даже при предельно сильном испарении, когда на границе кнудсеновского слоя нормальная к поверхности скорость газа становится равной скорости звука, часть молекул возвращается на поверхность. Темп-pa испаряющегося газа может быть существенно меньше температуры испаряющей стенки, а результаты, следующие из рассмотрения слоя Кнудсена, существенно отличаются от предсказываемых приближённой ф-лой Герца - Кнудсена (рис. 8). При сильном испарении в свой газ касательная к поверхности скорость всегда равна нулю, а при конденсации произвольна и определяется внешним по отношению к кнудсеновскому слою течением. В течении Куэтта с переконденсацией газа с одной стенки на другую все изменения параметров газа происходят в тонких слоях Кнудсена, в то время как во всём остальном течении при произвольно большом расстоянии между пластинами все параметры газа постоянны.

Выше предполагалось, что при

справедливы ур-ния Навье - Стокса и что отступления от классич. газодинамики вызваны лишь изменениями граничных условий, обусловленными явлениями в слое Кнудсена. Однако имеется круг явлений, для к-рых даже при

ур-ния Навье - Стокса оказываются несправедливыми.

Из кинетич. теории газов следует, что в медленных течениях (т. е. если число

и число

, то

) при наличии большого перепада температур

имеют место напряжения в газе, обусловленные градиентами температуры, соизмеримые с классич. напряжениями, обусловленными градиентами скоростей. Вследствие этих напряжений даже около равномерно нагретых тел возникает движение газа (термострессовая конвекция). Это движение газа отличается от гравитационной естественной конвекции тем, что оно имеет место в отсутствие массовых сил, и от термофореза, к-рый возникает около тел с неравномерно нагретой поверхностью. Аналогичные явления обусловлены градиентами концентраций в смесях газов.

Истечение струй. Важным объектом исследований являются струи, истекающие в вакуум или область с низким давлением. Если истечение струи происходит из форкамеры с достаточно высоким давлением, то в струе течение может проходить все режимы от сплошной среды до свободномолекулярного. Вдоль струи темп-pa и плотность падают, а скорость увеличивается. В струях выражены релаксационные явления: по мере понижения плотности вдоль струи темп-pa (энергия) внутр. степеней свободы молекул начинает отставать от температуры (тепловой энергии) поступат. степеней свободы и затем стабилизируется (замораживается). Далее замораживаются скорость течения и "продольная" темп-pa (разброс в продольных скоростях молекул). В струях смесей газов разные газы ведут себя различно, что позволяет использовать струи разреженного газа для разделения газов и изотопов. При охлаждении газа в струе может происходить конденсация газа и образование кластеров ,что широко используется в технологии. T. к. условия образования кластеров для разных газов различны, то в струях смесей газов можно выделять кластеры разных газов, получать многослойные кластеры. Путём разгона молекул разл. газов в струе гелия получают почти "монохроматич." пучки молекул без теплового разброса, т. е. условия, близкие к абс. нулю температуры. Это позволяет лазерными методами исследовать свойства молекул, не затушёванные процессами теплового движения и столкновения молекул.

Экспериментальные исследования. Для эксперим. исследования течений разреженного газа создаются аэродинамические трубы низкой плотности (вакуумные трубы), откачка газа в к-рых производится диффузионными, бустерными или криогенными вакуумными насосами. В соплах таких труб из-за низкой плотности возникает толстый пограничный слой, поэтому для получения невозмущённого пограничным слоем ядра потока требуются сопла больших размеров. Для исследования законов взаимодействия молекул между собой и с поверхностями используются молекулярные пучки (см. Молекулярное течение ).Специфичны и методы диагностики потоков разреженного газа. Наряду с высокочувствительными весами, датчиками давления и потоков тепла (болометры) большое распространение получила диагностика потока электронными пучками, рентгеновскими лучами, лазерные методы, использующие флуоресценцию и рассеяние света молекулами.

Вакуумные трубы позволяют не только изучать явления в разреженных газах, но и исследовать детали мн. явлений в континуальной области. Разреженность газа, увеличение длины пробега молекул позволяют "растянуть" течение, как бы посмотреть на него в увеличит. стекло. Так, ударную волну или кнудсеновский слой, имеющие при нормальных условиях толщину порядка 10^-5 см, можно растянуть до размеров, приемлемых для исследования их структуры. Струи, истекающие в вакуум, являются удобным инструментом для изучения релаксационных процессов, определения констант скоростей хим. реакций, времён релаксации и т. п. Законы движения разреженного газа в каналах лежат в основе явлений в тонких капиллярах пористых тел. Процессы, имеющие место при обтекании и испарении тел в разреженном газе, являются элементами дисперсных двухфазных течений. Явления в кнудсеновском слое определяют характер гетерогенных, в частности каталитич., реакций, испарения.

Литература по динамике разреженных газов

Знаете ли Вы, почему "черные дыры" - фикция?
Согласно релятивистской мифологии, "чёрная дыра - это область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света (в том числе и кванты самого света). Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер - гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда".
На самом деле миф о черных дырах есть порождение мифа о фотоне - пушечном ядре. Этот миф родился еще в античные времена. Математическое развитие он получил в трудах Исаака Ньютона в виде корпускулярной теории света. Корпускуле света приписывалась масса. Из этого следовало, что при высоких ускорениях свободного падения возможен поворот траектории луча света вспять, по параболе, как это происходит с пушечным ядром в гравитационном поле Земли.
Отсюда родились сказки о "радиусе Шварцшильда", "черных дырах Хокинга" и прочих безудержных фантазиях пропагандистов релятивизма.
Впрочем, эти сказки несколько древнее. В 1795 году математик Пьер Симон Лаплас писал:
"Если бы диаметр светящейся звезды с той же плотностью, что и Земля, в 250 раз превосходил бы диаметр Солнца, то вследствие притяжения звезды ни один из испущенных ею лучей не смог бы дойти до нас; следовательно, не исключено, что самые большие из светящихся тел по этой причине являются невидимыми." [цитата по Брагинский В.Б., Полнарёв А. Г. Удивительная гравитация. - М., Наука, 1985]
Однако, как выяснилось в 20-м веке, фотон не обладает массой и не может взаимодействовать с гравитационным полем как весомое вещество. Фотон - это квантованная электромагнитная волна, то есть даже не объект, а процесс. А процессы не могут иметь веса, так как они не являются вещественными объектами. Это всего-лишь движение некоторой среды. (сравните с аналогами: движение воды, движение воздуха, колебания почвы). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.