Стохастические колебания (от греч. stochastikos - умеющий угадывать) - нерегулярные, внешне неотличимые от реализации случайного процесса колебания в полностью детерминированной (без шумов и флуктуации) нелинейной системе.
Сложное поведение нелинейных колебат. систем наблюдалось (1920-е - 50-е гг.) задолго до осознания факта возможности существования стохастичности в таких системах (эксперименты Ван дер Поля и Ван дер Марка [1], двухдисковое динамо [2], распределённая система авторегулирования температуры [3]). Кроме того, хотя в то время существовали нек-рые элементы матем. аппарата для описания нетривиального поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве (гомоклинич. структуры Пуанкаре [4]), однако представления о том, что детерминиров. системы могут вести себя хаотически, ещё не проникли ни в физику, ни в математику. Качественное изменение ситуации произошло в 1960-е гг. в связи с открытиями в математике [5-6] и компьютерными исследованиями моделей физ. систем.
С. к., как и истинно шумовые колебания, характеризуются сплошным Фурье спектром и спадающей автокорреляц. функцией (см. Хаос ).Отличает их от случайных флуктуации то обстоятельство, что они могут генерироваться динамич. системой с конечным числом степеней свободы (в то время как генерация шума требует от системы возбуждения бесконечного числа независимых степеней свободы). Физ. природа возникновения сложного запутанного поведения конечномерной системы связана с неустойчивостью всех (или большинства) индивидуальных движений. Неустойчивость траекторий, располагающихся в органич. области фазового пространства, и приводит к перемешиванию, следствием к-рого является запутанность, сложность, стохастичность движения. Важными характеристиками этой сложности и запутанности являются фрактальная размерность предельного множества (странного аттрактора) А и топологич. энтропия системы на нём (см. Фракталы).
Выберем на странном аттракторе ансамбль из отрезков траекторий длительности
Т, отстоящих друг от друга на расстояние
.
Предположим, что любой отрезок длительности Т произвольной траектории
в аттракторе лежит в
-окрестности
хотя бы одного из отрезков. Обозначим через С
число
отрезков (элементов) в ансамбле. При уменьшении
или увеличении Т число С
увеличивается.
Рост С
при
убывании
естественно
связан с геом. сложностью аттрактора. Увеличение же С
при
возрастании Т есть следствие неустойчивости траекторий в аттракторе.
Рассмотрим следующие характеристики движения на аттракторе;
Величину h наз. топологич. энтропией, с - фрактальной размерностью аттрактора. Сигналу (реализации, наблюдаемой), с к-рым имеет дело исследователь, в эффективном фазовом пространстве (возможно, бесконечномерном) исследуемой системы отвечает предельное множество соответствующих траекторий. Его размерность естественно называть размерностью реализации, а топологич. энтропию системы, рассматриваемой лишь на этом предельном множестве, можно назвать топологич. энтропией реализации. Существуют алгоритмы определения этих величин, к-рые позволяют вычислить их для сигналов, генерируемых реальными процессами [7] (течение жидкости, энцефалограммы и пр.). Конечность этих величин свидетельствует о динамич. характере исследуемого процесса, а сами они характеризуют «степень стохастичности» системы.
Стохастичность гамильтоновых систем. Стохастич. свойства демонстрируют
даже очень простые гамильтоновы системы, напр. маятник под действием внеш.
иериодич. силы:
Фазовое пространство этой системы трёхмерно и очевидно, что нач. фазовый
объём сохраняется. Если в такой системе (в определ. области параметров)
рассмотреть каплю «фазовой жидкости» в пространстве {(х, х,
)},
то можно обнаружить, что через нек-рое время она, сложным образом деформируясь,
заполнит определ. область в фазовом пространстве, к-рая и будет соответствовать
стохастич. движениям (рис. 1).
Рис. 1.
Однако наряду с этой областью перемешивания (или областью стохастичности)
в фазовом пространстве (1) всегда будут существовать нач. условия, к-рым
отвечает регулярное периодическое или квазипериодическое поведение. Особенно
наглядно это видно на секущей плоскости
(на рис. 2 показаны следы фазовых траекторий- траектории отображения Пуанкаре).
Регулярным движениям отвечают двумерные торы, на к-рых лежат траектории,
соответствующие условно периодич. движениям (на рис. 2 - это замкнутые
кривые). В области хаоса эти торы разрушены. Очевидно, в трёхмерном фазовом
пространстве (и в четырёхмерном на трёхмерной поверхности пост. энергии)
области хаотического и регулярного поведения разделены. Такие системы наз.
системами с разделённым фазовым пространством [8]. Если фазовое пространство
имеет размерность больше четырёх, то геом. запретов, гарантирующих разделение
хаотических и регулярных движений, уже не существует и области стохастич.
поведения в разных частях фазового пространства могут соединяться друг
с другом отрезками одной и той же траектории. Обычно это происходит вдоль
сепаратрис (стохастич. диффузия, или диффузия Арнольда [8]).
Возникновение стохастичности в гамильтоновых системах типа (1) определяется
значением амплитуды внеш. силы, что имеет простой физ. смысл. При достаточно
больших амплитудах появляется большое число гармоник осн. частоты колебаний,
на каждой из к-рых возможен нелинейный резонанс; при дальнейшем увеличении
амплитуды области резонанса в фазовом пространстве, соответствующие этим
движениям, перекрываются (т. н. перекрытие резонансов Чирикова). Обнаружение
стохастич. поведения гамильтоновых систем, обладающего не только эргодичностью ,но и более сильными статистич. свойствами (перемешиванием, спадением
автокорреляц. функции и т. п.), позволяет построить динамич. модели, на основе
к-рых могут быть получены осн. законы статистич. механики без предварит.
гипотез. Это - модели типа бильярда Синая [9], газа Лоренца [10] и пр.
Рис. 2.
Стохастические автоколебания. В системах с диссипацией, напр. в системе
фазовый объём не сохраняется - он сжимается, поэтому можно было бы ожидать,
что движение системы может лишь упроститься. Однако стохастич. поведение
в таких системах сохраняется; лишь незначительно (в зависимости от величины
k)уменьшается размерность стохастич. множества, к-рое в данном случае
является странным аттрактором. Стохастич. автоколебания реализуются
не только в простой модели (2) неавтономного осциллятора, но и практически
в любой нелинейной колебательной диссипативной системе с периодич. силой,
если её амплитуда не слишком мала, даже если потенциал осциллятора имеет
лишь один минимум (в фазовом пространстве невозмущённой системы одно положение
равновесия), как в системе, описываемой ур-нием
(нелинейный резонанс с учётом затухания). Существование стохастич. автоколебаний
в системе
описывающей (с учётом нелинейной реактивности), в частности, синхронизацию колебаний, означает, кроме прочего, и то, что при переходе в области параметров через границу режима захватывания могут возникнуть не только биения, но и сложные колебания, ничем не отличимые от случайных. На рис. 3 приведены аттракторы систем, описываемых ур-ниями (3) и (4) при соответствующих значениях параметров.
Движения на странном аттракторе - установившиеся стохастич. автоколебания. Подобно периодич. автоколебаниям, матем. образом к-рых является предельный цикл, осн. характеристики установившихся движений (спектр колебаний, размерность, энтропия и др.) на странном аттракторе не зависят от нач. условий. Нач. условия сказываются лишь на характере переходного процесса. Несмотря на то, что странный аттрактор состоит из неустойчивых траекторий, т. е. движение рядом с каждой из них происходит лишь конечное время, однако переходы с одной неустойчивой траектории на другую происходят таким образом, что движение системы осуществляется вдоль траектории, тоже принадлежащей странному аттрактору [11].
В многомерных системах размерность странных аттракторов может быть много меньше размерности фазового пространства, что соответствует частичной синхронизации степеней свободы системы.
Пути возникновения стохастических колебаний [12, 13]. Последовательности бифуркаций (сценарии, пути), приводящие к возникновению С. к. при изменении параметров системы, могут быть бесконечно разнообразны, однако элементарных бифуркаций или их последовательностей, содержащихся в этих сценариях, не так много.
Рассмотрим вначале режимы «мягкого» возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это - рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации («гофрирование») тора и его разрушение, сопровождающееся возникновением большого числа гармоник и субгармоник в спектре колебаний. Для «жёсткого» режима возникновения С. к. характерно превращение непритягивающих гомоклинич. структур в фазовом пространстве, образовавшихся в результате потери устойчивости простыми аттракторами, в странный аттрактор.
Рис. 3.
Рис. 4.
Стохастические колебания в распределённых системах [14] - неупорядоченное поведение не только во времени, но и в пространстве. Степень неупорядоченности этих движений связана с числом независимых степеней свободы, формирующих это движение.
Пример подобного неупорядоченного движения распределённой гамильтоновой
системы - стохастич. движение солитона ,описываемое нелинейным Шрёдингера
уравнением с гармонич. потенциалом:
Для «медленных» переменных, определяющих координаты центра солитона, в одномерной ситуации получается ур-ние движения, совпадающее с (1). Т. о., один из механизмов стохастизации волнового поля связан с формированием локализов. образования (солитона) и его хаотич. блуждания в физ. пространстве, подобного нерегулярному движению изображающей точки в фазовом пространстве нелинейного осциллятора (1).
В диссинативных распределённых системах незатухающие С. к. возможны лишь при наличии источника энергии (потоки массы или тепла в гидродинамич. течениях, накачка в лазерах, пост. или периодич. магн. поле при возбуждении спиновых волн и т. д.). Установившиеся стохастич. пульсации в распределённой диссипативной системе, к-рым соответствуют конечномерные аттракторы, есть стохастич. автоколебания. При не слишком больших числах Рейнольдса черты гидродинамич. турбулентности описываются движениями на конечномерном странном аттракторе, размерность к-рого обычно растёт с ростом числа Рейнольдса.
В. С. Афраимович, М. И. Рабинович
|
|
 |
