Волновое уравнение. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Волновое уравнение - линейное однородное ур-ние в частных производных гиперболич. типа:

где t - время, с - пост. параметр, имеющий размерность скорости,

- Д-Аламбера оператор ,

- Лапласа оператор. Иногда вместо в (1) используют оператор Лоренца

. Векторное волновое уравнение предусматривает применение оператора

к каждой из декартовых компонент вектора; при переходе к произвольным координатам используют тождество

Первоначально волновое уравнение получено в одномерном варианте применительно к описанию движения упругой струны практически одновременно Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д-Аламбером (J. d'Alembert) и Л. Эйлером (L. Euler) в 40-е гг. 18 века Бернулли выразил его решение через тригонометрич. ряды, Д-Аламбер и Эйлер записали общее решение в виде двух перемещающихся в пространстве со скоростью с возмущений (волн):

что и дало основание назвать ур-ние (1) волновым. Эквивалентность тригонометрич. представления решения волнового уравнения функциональной записи (2) доказана Ж. Фурье (J. Fourier) в 1824.

Впоследствии понятие волнового возмущения претерпело значит. изменения (см. Волны), поэтому (1) нельзя считать универсальным и единственным волновым уравнением; оно охватывает отнюдь не все виды движений, квалифицируемых сейчас как волновые. Иногда, напр., термин "уравнение волны" применяется к упрощённому уравнению 1-го порядка

описывающему волну (моду), распространяющуюся только в одном направлении. Ур-ние (3) можно интерпретировать как закон сохранения величины

, поэтому его иногда наз. "кинематическим", в отличие от "динамического" ур-ния 2-го порядка или от системы двух ур-ний 1-го порядка (см., напр., Телеграфные уравнения).

Ур-ния (1) и (3) порождают достаточно разветвлённое семейство ур-ний, также причисляемых по совр. терминологии к категории волновых. Простейшим обобщением, сохраняющим внеш. облик ур-ния (1), является введение в него зависимости скорости с от координат, с=с(r)(неоднородные среды), от времени (параметрические среды), от самой функции

(квазилинейные среды) или от частоты

её изменения во времени,

(диспергирующие среды).

Волновое уравнение является одной из наиб. употребит. матем. моделей в физике. Оно описывает почти все разновидности малых колебании в распределённых механич. системах (продольные звуковые колебания в газе, жидкости, твёрдом теле; поперечные колебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты эл--магн. векторов и потенциалов, и, следовательно, мн. эл--магн. явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере объясняются свойствами его решений.

Инвариантные преобразования

Ур-ние (1) инвариантно (т. е. сохраняет свою структуру) относительно линейных преобразований координат и времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей, 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования ,а также 4 смещения начала координат и времени). В 1910 Г. Бейтмен (H. Bateman) показал, что волновое уравнение инвариантно относительно 15-параметрич. конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантных преобразований следует выделить:

где f₁ и f₂ - произвольные функции своих аргументов:

. Прямые

=const,

=const наз. характеристиками; в этих координатах одномерное волновое уравнение (1) факторизуется

Следовательно, преобразование (4) означает, что любая функция характеристики сама является характеристикой. Разделение переменных. Ур-ние (1) всегда допускает разделение переменных, т. е. факторизацию решения по координатам и времени

, при этом

т. е. для функции

получается ур-ние осциллятора (6), а для и(r) - трёхмерное Гелъмголъца уравнение, в двумерном случае его называют также ур-нием мембраны, а в одномерном - ур-нием осциллятора (но уже пространственного, а не временного).

В декартовых координатах волновое уравнение (1) можно свести к набору четырех ур-ний осцилляторов: трёх пространственных

и одного временного (6). Постоянные разделения k_x, k_y, k_z можно интерпретировать как компоненты нек-рого вектора k, наз. волновым вектором, поскольку плоская волна вида

является собств. решением (1) при условии:

. Комплексная запись (7) включает в себя сразу два решения, соответствующие действительной и мнимой частям. Помимо декартовой системы координат, переменные в ур-нии Гельмгольца (5) разделяются в цилиндрических (полярной, эллиптич. и параболич.), сферической и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах.

Неоднородное волновое ур-ние содержит в правой части функцию источника

и наз. Д-Аламбера ур-нием. Его решение состоит из собств. мод - решений однородного ур-ния (1) и из вынужденного решения, связанного с источником. В силу линейности (8) справедлив суперпозиции принцип, поэтому функцию f можно разложить по любой полной системе функций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных) или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам. Часто в качестве элементарного источника берётся дельта-функция Дирака, а соответствующее решение наз. Грина функцией. Всплеск от элементарного возмущения, имевшего место в начале координат в момент t=0, возбуждает волны, уходящие (бегущие, распространяющиеся) от источника. В одномерном случае их величина постоянна, в двумерном и трёхмерном - она монотонно убывает с удалением от центра. Для двумерного пространства характерно возникновение бесконечно длящегося последействия, благодаря к-рому отклик не повторяет функцию источника.

Обычно для волнового уравнения рассматривают Коши задачу, описывающую распространение волн в n-мерном пространстве. Классич. решением задачи Коши наз. непрерывно дифференцируемую функцию

, удовлетворяющую волновому уравнению в полупространстве t > 0 и нач. условиям

, где

- заданные функции. Классич. решение даётся Кирхгофа формулой (п = 3), Пуассона формулой (n=2) или Д-Аламбера формулой (n=1). Рассматривают также смешанную задачу, описывающую колебания ограниченного объёма V.

Имеется много приближённых методов решения волнового уравнения. В т. н. KB-асимптотике

рассматривают параболического уравнения приближение ,к-рое позволяет анализировать свойства волновых пучков и волновых пакетов, т. е. волновых образований, локализованных в пространстве и во времени, и геометрической оптики метод.

В системах с дисперсией волн возникает искажение профиля волны, обусловленное зависимостью скорости распространения её разл. участков от их крутизны, и решение в виде (2) становится невозможным. Если такую волну представить в виде суперпозиции синусоидальных мод типа (7), то дисперсия проявляется как зависимость фазовых скоростей с этих мод от частоты. Тогда соотношение

следует рассматривать как дисперсионное уравнение, заменяющее исходное волновое уравнение (1) и в нек-ром смысле обладающее даже большей общностью, поскольку учёт зависимости

можно провести только в рамках ур-ния Гельмгольца, т. е. после введения синусоидальной зависимости от времени. По виду дисперсионного ур-ния (в частности, если оно представляется полиномами конечных степеней по w и k) можно восстановить вид исходного дифференц. ур-ния, описывающего данный класс волн

; эти ур-ния могут существенно отличаться от стандартного ур-ния (1). Наиб. важной и наглядной иллюстрацией являются волны на поверхности жидкости .Напр., длинным (по сравнению с глубиной бассейна) волнам при небольших амплитудах соответствует дисперсионное ур-ние вида

, по к-рому легко восстанавливается исходное дифференц. ур-ние

. Это т. н. линеаризованное Кортевега-де Фриса уравнение, один из возможных вариантов обобщения ур-ния (3) на системы с дисперсией.

Нелинейные волновые уравнения

При перечислении нелинейных обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у. В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой функции в ур-ния (1), (3) или (8). Однако часто к нелинейным В. у. относят любые ур-ния, вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб. известны нелинейное ур-ние Клейна-Гордона

, обобщающее линейное Клейна-Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца

, учитывающее зависимость волнового числа от квадрата волновой функции.

Нелинейные В. у. позволяют описать взаимодействие волн (в т. ч. и квазимонохроматических), возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку и самоканализацию и т. д.

Литература по волновым уравнениям

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.