Дисперсионное уравнение. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Дисперсионное уравнение - соотношение, связывающее циклич. частоты

и волновые векторы k собственных гармонич. волн (нормальных волн)в линейных однородных системах: непрерывных средах, волноводах, передающих линиях и др. Д.у. записывается в явном

или неявном

виде. В тех случаях, когда зависимость

неоднозначна, выделяют однозначные ветви Д.у.:

(где n= 1, 2, ...), соответствующие нормальным модам системы, т. е. совокупностям нормальных волн с одинаковой (в т. ч. поляризационной) структурой. Графич. изображение корней Д. у. на плоскости

наз. дисперсионной кривой.

Д. у. эквивалентно полному кинематич. описанию волновых процессов в системе. В частности, Д. у. определяет фазовые скорости гармонич. волн в направлении k

, групповые скорости перемещения квазигармонич. одномодовых волновых пакетов

, расплывание пакетов (зависящее от величин вторых

или более высоких производных). В области комплексных значений

Д. у. определяет временные

и пространственные Г инкременты (или декременты) процессов распространения волн

(см. Дисперсия волн).

Д. у. являются следствием динамических (в общем случае интегродифференциальных) ур-ний движения и краевых условий на границах раздела сред. И наоборот, по виду Д. у. иногда (при наличии определённой априорной информации о системе) или во всех случаях, когда Д. у. представлено через полиномы по

и k, могут быть восстановлены динамич. ур-ния процессов с помощью замены

Д. у. позволяет установить общность между волновыми движениями разл. природы: так, напр., одно и то же соотношение

соответствует: 1) эл--магн. волнам в изотропной плазме (при этом

- плазменная частота, u=c- скорость света в вакууме); 2) плазменным волнам (

- тепловая скорость электронов); 3) волнам в радиоволноводах (u=c,

-поперечное волновое число, определяемое размерами, конфигурацией волновода, типом и номером моды); 4) волнам в волноводах акустических (u=c_S- скорость звука. ); 5) элементарной частице в релятивистской волновой механике (и = с,

, m₀ - масса покоя).

В плавно неоднородных средах, где гармонические во времени поля можно представить в виде

обобщением Д. у. является уравнение эйконала

, к-рое совпадает при фиксиров. значении координаты r с Д. у. в соответствующей однородной среде. Ур-нию эйконала можно сопоставить систему лучевых ур-ний (см. Геометрической оптики метод): , . Аналогичным образом Д. у. обобщается на системы с медленно меняющимися во времени параметрами (параметрические колебательные системы).

При исследовании нелинейных систем Д. у. позволяет описать волновые процессы вблизи стационарных состояний и установить их устойчивость или характер их неустойчивости. При этом Д. у. составляется для линеаризов. ур-ний, описывающих малые отклонения от стационарного состояния. По виду Д. у. можно определить тип неустойчивости: если действительным k соответствуют комплексные значения , то имеет место абсолютная неустойчивость системы, если действительным

соответствуют комплексные значения

, неустойчивость является конвективной (см. Неустойчивость в колебательных и волновых системах).

Существует обобщение Д. у. на существенно нелинейные стационарные волновые процессы (периодические нелинейные волны или уединённые волны - солитоны). В этом случае нелинейное Д. у. связывает амплитуду стационарной волны с её структурными параметрами - характерными временами и масштабами (см. Нелинейные колебания и волны).

При квантовом подходе Д. у. приобретает смысл соотношения между энергией

и импульсом

(см. Дисперсии закон).

Литература по дисперсионному уравнению

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.