Дифракция рентгеновских лучей. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Дифракция рентгеновских лучей - возникновение отклонённых (дифрагированных) лучей в результате интерференции упруго рассеянных электронами вещества вторичных волн. Д. р. л. обусловлена пространственно упорядоченным расположением атомов рассеивателя и большой величиной параметра пространственной дисперсии

5*10^-2

1 (

- длина волны рентгеновского излучения, d - характерное межатомное расстояние в веществе). Она является осн. методом исследования атомной структуры веществ (см. Рентгеновский структурный анализ, Рентгенография материалов, Рентгеновская топография, Рентгеновская спектроскопия) [1- 6].

Д. р. л. впервые наблюдалась M. фон Лауэ (M. von Laue), B. Фридрихом (W. Friedrich) и П. Книппингом (P. Knipping) (1912). Первая элементарная (т. н. кинематич.) теория Д. р. л. предложена Лауэ в 1913; в том же году У. Л. Брэгг (W. L. Bragg) и Г. В. Вульф интерпретировали Д. р. л. как интерференц. отражение излучения от системы параллельных атомных плоскостей кристалла (см. Брэгга - Вульфа условие). В 1914 Ч. Дарвин (Ch. Darwin) сформулировал основы динамич. теории Д. р. л., затем в 1917 П. Эвальд (P. Ewald) развил теорию самосогласованного взаимодействия точечных диполей среды и поля излучения. В 1931 Лауэ изложил теорию Д. р. л. как электродинамич. задачу распространения излучения в среде с непрерывной трёхмерной периодической поляризуемостью

(см. Поляризуемость рентгеновская).

Наиб. ярко Д. р. л. выражена в кристаллах, являющихся для рентгеновских лучей естеств. трёхмерными дифракционными решётками. Дифракц. максимумы в них возникают в направлениях, в к-рых вторичные (рассеянные атомами) волны распространяются с одинаковыми фазами. Для кристаллов это условие фазировки требует удовлетворения одновременно трём условиям дифракции на одномерных дифракц. решётках:

где а, b, с - периоды решётки кристалла по трём её осям;

- углы, составляемые направлением распространения падающей, а

- рассеянной волнами с осями решётки кристалла; H, К и L - целые числа, пропорциональные индексам кристаллографическим системы атомных плоскостей, находящихся в отражающем положении. Ур-ния (1) (т. н. ур-ния Лауэ) можно представить в виде условия Брэгга - Вульфа. T. к. углы

фиксированы, а

не независимы, то система (1) обычно имеет крайне мало целочисленных решений, т. е. при рассеянии монохроматич. рентгеновского излучения на неподвижном кристалле число дифракц. максимумов мало.

Рассеивающие свойства кристалла зависят от его размера и строения. Рассеяние излучения идеальным мозаичным кристаллом (см. Мозаичнисть кристаллов) и поликристаллом со ср. размером зерна l10^-5 см описывается кинематич. приближением теории Д. р. л. [1, 5]. В кинематич. теории Д. р. л. предполагается, что интенсивность рассеянной кристаллич. блоком волны мала по сравнению с интенсивностью первичного поля. Такое приближение вполне допустимо для мн. кристаллов. Согласно классич. электродинамике, электрич. поле Е₀ падающей на кристалл волны излучения с частотой

и волновым вектором k₀ вызывает возникновение переменного дипольного момента атомов, в результате чего каждый атом становится источником вторичной сферич. волны, амплитуда к-рой определяется рассеивающей способностью атома, а фаза - его положением в кристаллич. структуре. Амплитуда вектора напряжённости электрич. поля, рассеянного одним атомом, равна:

где f(s)- атомный фактор, в к-рый включён также и Дебая - Уоллера фактор;

- радиус-вектор положения j-го атома; m, п, p - целые числа;

- вектор рассеяния,

- угол между векторами k₀ и k_S (угол рассеяния; угол

наз. углом Брэгга); двойное векторное произведение определяет поляризац. зависимость

; R - расстояние от точки рассеяния до точки наблюдения. Полная амплитуда рассеянного поля

равна сумме

по всем N атомам кристалла:

Относит. интенсивность рассеянного в единичный телесный угол излучения равна:

где I₀- интенсивность первичного излучения,

- сечение рассеяния излучения электроном (е и т - его заряд и масса, с - скорость света);

- поляризац. множитель. Для неполяризованного излучения

- сечение рассеяния атомом; экспоненты в (2) учитывают пространственные сдвиги фаз между волнами, рассеянными j-м и k-м атомами. Для кристаллов с неск. атомами в элементарной ячейке f(s) в (2) следует заменить на структурный фактор F(s), тогда r_j- радиус-вектор положения j-й элементарной ячейки.

Для идеального кристалла суммы в (2) являются геом. прогрессиями. Если кристалл имеет вид правильного параллелепипеда, содержит N=N_aN_bN_c элементарных ячеек (N_a,b,c - число периодов вдоль векторов элементарных трансляций a, b и с), то суммирование (2) приводит к интерференц. функции Лауэ:

макс. значения к-рой (т. н. гл. дифракц. максимумы) равны (N_aN_bN_с)², т. е. ~ V² (V - объём кристалла), при значениях s, а, b, с, удовлетворяющих условиям, эквивалентным ур-ниям Лауэ (1):

. Эти условия показывают, что вектор рассеяния s для дифракц. направления равен вектору обратной решётки g, так что

. Угл. ширина дифракц. максимума в плоскости падения равна

, где Ng-число периодов решётки кристалла вдоль вектора g. Если, напр., N_g~10⁴, то угл. ширина максимума ~10^-4 рад. При увеличении объёма кристалла интенсивность гл. дифракц. максимумов возрастает ~V², а их ширины уменьшаются ~

(рис. 1).

Интегральная по углам рассеивающая способность кристалла при прохождении им отражающего положения пропорциональна его объёму V, т. е. относит. интегральная интенсивность

где

- уд. рассеивающая способность кристалла;

- длина волны излучения; V_эл - объём элементарной ячейки; значения константы К и фактора интегральности

определяются схемой дифракции. Для кристалла с заметным поглощением в Q (g)нужно учитывать экстинкционное ослабление проходящего и рассеянного лучей в объёме кристалла. При Д. р. л. в мозаичном кристалле имеет место явление вторичной экстинкции.

Рис. 1. Одномерная интерференц ионная функция Лауэ;

- угловая отстройка от точного угла Брэгга.

В случае кинематич. Д. р. л. кристаллов с нарушениями периодичности строения, а также в аморфных телах, стёклах и жидкостях интенсивность находят, усредняя (2) по всем возможным конфигурациям атомов в пространстве, вероятность реализации к-рых задаётся функцией корреляции

[8, 9]:

Член ~N описывает рассеяние излучения неупорядоченным скоплением, состоящим из N атомов. Второй член - квадрат модуля фурье-образа формы кристалла - описывает Фраунгофера дифракцию на рассеивателе в целом, к-рая приводит к очень слабому дифракц. размытию прошедшего пучка излучения на угол

(где D - диаметр рассеивателя), заметному лишь при рассеянии на микроскопич. и субмикроскопич. объектах (напр., биол. молекулах, для к-рых D

10^-5см и

10^-3 рад), что используется для исследования их формы (см. Малоугловое рассеяние). Третий член определяется корреляцией в пространственном расположении атомов в рассеивателе и, следовательно, заключает в себе информацию о координатах атомов в элементарной ячейке кристалла (см. Рентгеновский структурный анализ). Этот механизм близок к рассеянию света на флуктуациях параметров среды. Нарушения периодичности строения кристаллов проявляются в уменьшении интенсивности осн. дифракц. максимумов по сравнению с их интенсивностью для идеального кристалла и появлению дополнит. фона, плавно зависящего от угла рассеяния (см. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей). Исследование диффузного рассеяния позволяет установить характер искажений структуры кристалла [7].

Для некристаллич. объектов функция

обычно изотропна, поэтому дифрагированная интенсивность аксиально симметрична относительно первичного пучка. Дифракц. максимумы имеют вид колец, интенсивность к-рых быстро

падает при возрастании угла

. В результате слабой корреляции в расположении атомов в пространстве эти кольца имеют вид широких размытых гало, угл. положение к-рых зависит от ср. межатомных (межмолекулярных) расстояний (рис. 2). Это позволяет найти функцию радиального распределения зарядовой плотности среды

[9].

Рис. 2. Парная корреляционная функция Р(r) межатомных расстояний О...О в жидкой воде, полученная с помощью рентгеновского структурного анализа.

Кинематич. приближение Д. р. л. представляет собой борновское приближение в решении ур-ния (5) (см. ниже); причём связь между дискретным [на основе атомного фактора f(g)] и континуальным [на основе поляризуемости

] описаниями взаимодействия кристалла с излучением устанавливается соотношением:

разложения

в ряд по векторам обратной решётки

. Используя это соответствие, интегральную рассеивающую способность (3) можно представить в виде:

Кинематич. приближение становится неприменимым, если линейные размеры идеального кристалла l>10^-5 см. Д. р. л. в этом случае описывается динамической теорией, согласно к-рой удельная и интегральная отражающие способности идеального кристалла и структура поля в его объёме полностью отличны от результатов кинематич. теории Д. р. л.

Динамич. теория Д. р. л. основана на более полном решении волнового ур-ния для вектора электрич. смещения

[11] с учётом обратного воздействия дифракц. луча на проходящий:

где правая часть представляет вторичные поля, наведённые в кристалле внеш. возмущением. Осн. методами решения (5) являются метод Фурье, к-рый приводит к понятию дисперсионной поверхности [1; 5], и метод медленно меняющихся амплитуд (ур-ний Такаги) [11].

Особенности динамич. Д. р. л. проявляются уже в простейшем случав двух волн - проходящей (0) и дифракционной (g). Наиб. важным случаем является дифракция плоской волны на кристаллич. пластине (рис. 3).

Решение ур-ния (5) резко различается для брэгговского отражения и лауэвского пропускания (см. Брагговское отражение).

Брэгговское отражение. Его простейшим случаем является симметричное (

=0) отражение от полубесконечного центросимметричного непоглощающего кристалла. Решение (5) для этого случая с соответствующими граничными условиями даёт след. выражение для относит. интенсивности рассеяния на поверхности кристалла (z=0):

где

-величина, пропорциональная угл. отстройке

;

. Этот результат показывает, что в области углов

имеет место полное отражение падающей волны (рис. 4). Угл. ширина этой области

~10^-5 рад и определяется только диэлектрич. свойствами кристалла. Вследствие преломления эта область сдвинута на угол

~ 10^-5 рад от точного угла Брэгга. В пределах этой области углов интенсивности проходящего I⁰ и дифракц. I^g излучения внутри кристалла экспоненциально падают с глубиной z:

, где

атомных периодов. Это затухание имеет чисто интерференц. природу и наз. первичной экстинкцией. Расстояние l_ext, на к-ром

убывает в е раз, наз. длиной первичной экстинкции. Интегральная рассеивающая способность [в отличие от (4)] пропорциональна первой степени

и имеет иную поляризац. зависимость:

Несмотря на существование области полного отражения, динамич. интегральная интенсивность в неск. десятков раз ниже кинематической (4) вследствие малой угловой ширины дифракц. максимума.

Рис. 4. Угловые зависимости интенсивностей дифракционных максимумов в случае непоглощающего центросимметричного кристалла. 1. Симметричное (

=0) брэгговское отражение от полубесконечного кристалла. Ширина области полного отражения

. Её центр сдвинут из-за преломления на угол c₀/sin2u 2. Симметричное

лауэвское прохождение. Максимальная интенсивность равна 1/2. Форма максимума - лоренцовская, полуширина равна

. Максимум расположен в точном угле Брэгга.

Рис. 3. Двухлучевая дифракция на кристаллической пластине:

- угол между волновыми векторами проходящей k₀ и дифракционной''

волн;

- угол между x и атомной плоскостью (показана пунктиром) из находящегося в отражающем положении семейства атомных плоскостей; g - вектор дифракции (вектор обратной решетки).

Лауэвское пропускание. Относит. интенсивность рассеянной волны в симметрич. случае Лауэ

для непоглощающего кристалла

осциллирует с периодом

, к-рый определяется длиной первичной экстинкции l_ext;

. Дифракц. максимум расположен точно под углом Брэгга и имеет лоренцовскую форму (рис. 4) с шириной

. Если излучение падает на кристалл под углом Брэгга

, то

изменяется от 0 до 1 с периодом осцилляции

, т. е. вся интенсивность поля периодически сосредоточивается в дифракц. волне. Относит. интенсивность

осциллирует с тем же периодом, но с опережением по фазе на

. Поведение поля напоминает перекачку энергии при связанных колебаниях маятников и наз. маятниковым решением. При нек-рой отстройке

от угла Брэгга

перекачка неполная, а при учёте поглощения она носит затухающий характер. Структура поля такова, что дифракц. н проходящий лучи образуют единую самосогласованную систему, так что разделение поля на прошедшую и дифрагированную волны происходит не внутри кристалла, а на его выходной поверхности. Для толстых кристаллов имеет место аномального пропускания эффект .Среднее по T значение интегральной интенсивности рассеянного излучения также определяется выражением (6) при

Брэгговское отражение и лауэвское пропускание широко используются для монохроматизации и получения слабо расходящихся

интенсивных пучков рентгеновских лучей. Изучение Д. р. л. в совершенных кристаллах со слабыми искажениями позволяет получить информацию о типе и строении дефектов, их плотности и распределении по объёму [8] (см. Рентгеновская топография).

В рамках динамич. теории Д. р. л. решены задачи распространения рентг. излучения в совершенном кристалле с пост. градиентом деформаций, нарушенным приповерхностным слоем, в модулированных и многослойных кристаллах, что позволило решать обратные задачи восстановления строения кристаллов с одномерным полем искажений по данным Д. р. л. В целом решены задачи дифракции коллимированных и сферич. волн; рассмотрены нек-рые многолучевые задачи, а также случаи резко асимметричной дифракции, когда наряду с дифракцией имеет место полное внеш. отражение. Детальное понимание интерференционной структуры поля излучения в кристалле при динамич. Д. р. л. позволило создать новые дифракц. методы исследования строения тонких приповерхностных слоев монокристаллов [9].

При внеш. возбуждении или неупругих процессах рассеяния рентг. лучей атомы кристалла могут стать источниками вторичного излучения, некогерентного с падающим. При распространении этого излучения в кристалле наблюдаются специфич. дифракц. явления - т. н. линии Косселя [1].

Дифракция гамма-лучей, нейтронов, электронов описывается в основном теми же закономерностями, что и Д. р. л., однако для каждого типа излучения имеются специфич. особенности, определяемые величиной взаимодействия и длиной волны излучения (см. Дифракция частиц, Дифракция электронов, Дифракция нейтронов). Динамич. дифракция может наблюдаться и в оптич. диапазоне, напр. при распространении света в холестерических [10] и коллоидных жидких кристаллах.

Литература по дифракции рентгеновских лучей

Знаете ли Вы, что "гравитационное линзирование" якобы наблюдаемое вблизи далеких галактик (но не в масштабе звезд, где оно должно быть по формулам ОТО!), на самом деле является термическим линзированием, связанным с изменениями плотности эфира от нагрева мириадами звезд. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.